Question

Докажите, что трапеция является равнобокой, если её диагонали равны.

Answer 1

а) Смотри рисунок. Рассмотрим два прямоугольных треугольника АВВ1 и ДСС1.

углы АВВ1=ДСС1=90 градусов; углы ВАВ1=СДС1; ВВ1=СС1(как высоты в трапеции). Как известно, для подобия прямоугольных треугольников достаточно, чтобы они имели по равному острому углу и равному катету ⇒ ΔАВВ1=ΔДСС1 ⇒ АВ=СД⇒

трапеция АВСД - равнобедренная.

б) Смотри рисунок. Пусть точка пересечения диагоналей - это О.

Рассмотрим треугольники АВО и ДСО.

Углы АОВ=ДОВ( как вертикальные); по условию ВД=АС, точка О - точка пересечения⇒ ВО=ОС и АО=ОД.

По первому признаку равенства треугольников ΔАВО=ΔДСО⇒АВ=СД⇒трапеция

АВСД - равнобедренная.

Answer 2

Давайте докажем, что если диагонали трапеции равны, то она является равнобокой.

Пусть у нас есть трапеция ABCD, где AB и CD - основания трапеции, а AC и BD - её диагонали. По условию задачи, AC = BD.

Рассмотрим триугольник ACD. В этом треугольнике две стороны равны (AC = BD) и угол между ними (угол ADC) - общий для обоих треугольников ACD и BCD.

По свойству треугольников, если две стороны треугольника равны и угол между ними равен, то такой треугольник является равнобоким (равнобедренным). Таким образом, треугольник ACD равнобокий.

Теперь докажем, что угол BCD также равен углу ADC. Поскольку сумма углов внутри треугольника равна 180 градусам, мы можем записать:

∠BCD + ∠ADC + ∠DAB = 180°

Известно, что треугольник ACD равнобокий, поэтому угол ADC равен углу ACD:

∠ADC = ∠ACD

Таким образом, нашу формулу можно переписать следующим образом:

∠BCD + ∠ACD + ∠DAB = 180°

Теперь мы знаем, что угол ADC равен углу ACD, поэтому мы можем заменить ∠ACD на ∠ADC:

∠BCD + ∠ADC + ∠DAB = 180°

Теперь мы видим, что угол BCD равен углу ADC. Это означает, что треугольник BCD также равнобокий.

Итак, мы доказали, что оба треугольника ACD и BCD, образованные диагоналями трапеции, равнобокие. Следовательно, сама трапеция ABCD является равнобокой, так как у неё два равнобоких треугольника.