Question

Через середину D гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет AC в точке E, а другая — катет BC в точке F. Найдите гипотенузу AB, если EF = 9 см

Answer 1

ЕF -средняя линия треугольника АВС, она у два раза меньше стороны к которой паралельна, АВ=18см

Answer 2

Давайте обозначим длину гипотенузы AB как x. Поскольку EF параллельна катетам треугольника ABC и проходит через его середину D, то она разбивает катет AC на две равные части. Таким образом, AD = DC = 0.5x.

Теперь у нас есть два подобных треугольника: треугольник ADE и треугольник ABC. Поскольку они подобны, отношение длин соответствующих сторон будет одинаковым.

Отношение сторон треугольника ADE к сторонам треугольника ABC равно 1:2, так как AD составляет половину гипотенузы AB, и отношение DE к BC также равно 1:2, так как EF равно 9 см.

Поэтому DE = (1/2) * BC.

Теперь мы знаем, что DE = 9 см и BC = 2 * DE, таким образом, BC = 2 * 9 см = 18 см.

Итак, мы нашли длину катета BC. Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения гипотенузы AB:

AB^2 = AC^2 + BC^2

AB^2 = (0.5x)^2 + 18^2

AB^2 = 0.25x^2 + 324

Теперь у нас есть уравнение для AB^2. Но мы также знаем, что EF = 9 см, и она является боковой стороной прямоугольного треугольника AEF, который также подобен треугольнику ABC. Таким образом, отношение EF к AC также равно 1:2.

EF = (1/2) * AC

9 см = (1/2) * x

9 см * 2 = x

x = 18 см.

Теперь, когда у нас есть значение x (длина гипотенузы AB), мы можем решить уравнение для AB^2:

AB^2 = 0.25x^2 + 324

AB^2 = 0.25 * (18 см)^2 + 324

AB^2 = 0.25 * 324 см^2 + 324

AB^2 = 81 см^2 + 324 см^2

AB^2 = 405 см^2

AB = √405 см

AB ≈ 20.12 см.

Итак, длина гипотенузы AB приближенно равна 20.12 см.