Question

даны три точки: А(1;1;1), В(-1;0;1), С(0;1;1) найдите такую точку Д(х;у;z), чтобы векторы АВ и СД были равны

Answer 1

$A(1,1,1)\; \; ,\; \; B(-1,0,1)\; \; ,\; \; C(0,1,1)\; \; ,\; \; D(x,y,z)\\\\\overline {AB}=\overline {CD}\\\\\overline {AB}=\sqrt{(-1-1)^2+(0-1)^2+(1-1)^2}=\sqrt{4+1+0}=\sqrt5\\\\\overline {CD}=\sqrt{(x-0)^2+(y-1)^2+(z-1)^2}=\sqrt5\\\\x^2+(y-1)^2+(z-1)^2=5\\\\x=1\; ,\; z=1:\; \; 1^2+(y-1)^2=5\; \; \to \; \; (y-1)^2=4\; ,\; \; y-1=\pm 2\; \; \to \\\\y=3\; \; ili\; \; y=-1\\\\D(1,3,1)\; \; \; ili\; \; \; D(1,-1,1)$

Answer 2

Для того чтобы векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ были равны, нужно, чтобы их компоненты были равны друг другу. Вектор $\overrightarrow{AB}$ можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:

$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1 - 1 \\ 0 - 1 \\ 1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Теперь, чтобы вектор $\overrightarrow{CD}$ был равен вектору $\overrightarrow{AB}$, его компоненты должны быть равны -2, -1 и 0 соответственно. Таким образом, координаты точки D будут равны:

$D(x, y, z) = (1 - 2, 1 - 1, 1 + 0) = (-1, 0, 1)$

Итак, точка D(-1, 0, 1) удовлетворяет условию, что векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ равны.