Question

В прямоугольном треугольнике из вершины угла, равного 60 градусов, проведена биссектриса , длина которой равна 18 см. Найдите длину катета, лежащего против данного угла. Можно с рисунком, и подробно, пожалуйста :(.

Answer 1

......................

Answer 2

Конечно, я помогу вам с этим заданием. Давайте разберёмся с прямоугольным треугольником и найдем длину катета, лежащего против угла 60 градусов.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где угол BAC равен 60 градусов.

1. Рисунок:

   Нарисуем треугольник ABC:

   cssCopy code
         A
        /|
       / |
   c  /  |  b
     /   |
    /____|
    B     C
   

2. Дано:

   Длина биссектрисы, проведенной из вершины угла BAC (то есть из вершины угла 60 градусов), равна 18 см. Пусть точка пересечения биссектрисы с BC обозначена как D. Таким образом, AD = 18 см.

3. Рассуждения:

   Заметим, что треугольник ABC является прямоугольным, и у нас есть угол BAC, равный 60 градусов. Это означает, что у нас есть два равных катета (AB и AC), так как у прямоугольного треугольника с углом 60 градусов противоположные катеты равны.

   Также известно, что AD - это биссектриса угла BAC. Из свойств биссектрисы мы знаем, что отношение BD к DC равно отношению сторон AB к AC.

4. Решение:

   Пусть x - длина катета, лежащего против угла 60 градусов (то есть AC).

   Из свойства биссектрисы:

   $$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$$

   Подставим известные значения:

   $$\frac{BD}{DC} = \frac{x}{x} = 1$$

   Так как треугольник ABC прямоугольный, то BD + DC = BC. Также известно, что BD = AD (18 см, так как AD - биссектриса). Подставим значения:

   $$18 + DC = x \quad \Rightarrow \quad DC = x - 18$$

   Теперь мы можем записать уравнение:

   $$\frac{x - 18}{x} = 1$$

   Решим это уравнение относительно x:

   $$x - 18 = x \quad \Rightarrow \quad 18 = 0$$

   Это невозможно, так что наше предположение о том, что x = AC (длина катета, лежащего против угла 60 градусов), неверно.

   Произошла ошибка в предположении. Давайте проверим наши рассуждения.

5. Исправление ошибки:

   Давайте применим теорему синусов к треугольнику ABC, используя известную биссектрису AD:

   $$\frac{AD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{BD}{\sin(\angle ABD)}$$

   У нас угол BAD = 60 градусов, поэтому sin(60 градусов) = √3/2. Угол ABD - это половина угла BAC, то есть 30 градусов, поэтому sin(30 градусов) = 1/2.

   Подставим известные значения:

   $$\frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{BD}{\frac{1}{2}}$$

   Решим это уравнение относительно BD:

   $$BD = 18 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \text{ см}$$

   Так как треугольник ABC прямоугольный, то BD + DC = BC, то есть:

   $$12\sqrt{3} + DC = x$$

   Таким образом, x (AC) - это сумма BD и DC:

   $$x = 12\sqrt{3} + DC$$

   Теперь мы можем найти DC, выразив его через x:

   $$DC = x - 12\sqrt{3}$$

   Теперь у нас есть уравнение, связывающее x и DC:

   $$\frac{BD}{DC} = \frac{AD}{BD} \quad \Rightarrow \quad \frac{12\sqrt{3}}{x - 12\sqrt{3}} = \frac{18}{12\sqrt{3}}$$

   Решим это уравнение относительно x:

   $$\frac{12\sqrt{3}}{x - 12\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad x - 12\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$
   $$x = 20\sqrt{3} \text{ см}$$

   Таким образом, длина катета, лежащего против угла 60 градусов (AC), равна 20√3 см.