Question

В треугольнике ABC со сторонами AB=12, BC=15, AC=9 проведена биссектриса . Пусть - точка касания AB с вписанной в треугольник окружностью, отрезки и пересекаются в точке P, продолжение AP пересекает BC в точке . Найти отношение .

Answer 1

Т.к. 9²+12²=15², то ∠A - прямой. Значит r=AC₁=(9+12-15)/2=3, откуда C₁B=12-3=9 и AC₁/C₁B=1/3. Т.к. BB₁ - биссектриса, то CB₁/B₁A=BC/BA=5/4. По т. Чевы (BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A)·(AC₁/C₁B)=1, откуда
A₁C/BA₁=(5/4)·(1/3)=5/12, т.е. BA₁=(12/17)BC=12·15/17. Т.к. BP - биссектриса треугольника ABA₁, то AP/PA₁=AB/BA₁=12/(12·15/17)=17/15.

Answer 2

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать теорему о биссектрисе треугольника и теорему о вписанной окружности.

Теорема о биссектрисе треугольника

Если из вершины треугольника провести биссектрису, то она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

Теорема о вписанной окружности

Вписанная окружность треугольника касается каждой из его сторон в одной точке.

В данной задаче требуется найти отношение длин отрезков AP и PB. Пусть отрезок AP равен x, а отрезок PB равен y.

Решение:

Из теоремы о биссектрисе треугольника, можно записать: AB/AP = BC/PC

Подставим известные значения сторон треугольника: 12/x = 15/(15-y)

Теперь решим уравнение относительно y: 12(15-y) = 15x 180 - 12y = 15x

Также, известно, что точка P является точкой касания вписанной окружности. Из теоремы о вписанной окружности, можно сказать, что отрезки AP и BP равны, то есть x = y.

Подставим x = y в уравнение: 180 - 12x = 15x 180 = 27x x = 180/27 x ≈ 6.67

Отношение отрезков AP и PB равно x/y: 6.67/y = 1 y ≈ 6.67

Таким образом, отношение отрезков AP и PB примерно равно 1:1 или AP ≈ PB ≈ 6.67.