Question

Плоскости α и β пересекаются по прямой AB. Плоскости β и γ по прямой BC, а плоскости α и γ по прямой АС. Докажите, что A, B, C лежат на одной прямой.

Answer 1

Если плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.

Прямая AB лежит в плоскости β.

Прямая AС лежит в плоскости γ.

Плоскости β и γ имеют общую точку A, следовательно имеют общую прямую, на которой лежит точка A.

Плоскости β и γ имеют общую прямую BC, на которой лежит точка A.

Answer 2

Для доказательства того, что точки A, B и C лежат на одной прямой, мы можем воспользоваться свойствами плоскостей и прямых в трехмерном пространстве.

Дано:

1. Плоскости α и β пересекаются по прямой AB.
2. Плоскости β и γ пересекаются по прямой BC.
3. Плоскости α и γ пересекаются по прямой AC.

Давайте начнем с плоскостей α и β. Поскольку они пересекаются по прямой AB, точка A лежит как на плоскости α, так и на плоскости β. Точно так же точка B лежит на обеих этих плоскостях.

Теперь рассмотрим плоскости β и γ. По аналогии с предыдущими рассуждениями, точка B лежит как на плоскости β, так и на плоскости γ. А так как точка B также лежит и на плоскости α (из первого условия), то она лежит на всех трех плоскостях: α, β и γ.

Наконец, рассмотрим плоскости α и γ. По аналогии с предыдущими рассуждениями, точка A лежит как на плоскости α, так и на плоскости γ. Так как точка A также лежит и на плоскости β (из первого условия), то она лежит на всех трех плоскостях: α, β и γ.

Итак, мы видим, что точка A лежит на плоскостях α, β и γ, точка B лежит на плоскостях α, β и γ, и точка C лежит на плоскостях β и γ. Таким образом, все три точки A, B и C лежат на всех трех плоскостях α, β и γ, что означает, что они лежат на одной прямой.