Question

Около равностопоннего треугольника ABC описана окружность с центром O. Докажите, что скалярное произведение векторов OC и AB равно нулю

Answer 1

Нуууу, как то так... Дано надеюсь напишешь )))

Answer 2

Доказательство:

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства описанного окружности вокруг равностороннего треугольника ABC.

1. Описанная окружность равностороннего треугольника проходит через все вершины треугольника. 2. Центр описанной окружности равностороннего треугольника находится на пересечении биссектрис треугольника. 3. Радиус описанной окружности равен половине стороны треугольника.

Исходя из этих свойств, мы можем сделать следующие выводы:

1. Для равностороннего треугольника ABC, все его стороны равны между собой. Обозначим длину стороны треугольника как a. 2. Радиус описанной окружности равностороннего треугольника ABC равен a/√3. 3. Центр описанной окружности обозначим как O.

Теперь рассмотрим вектор OC и вектор AB.

Вектор OC - это вектор, направленный от центра окружности O к вершине треугольника C. Вектор AB - это вектор, направленный от вершины треугольника A к вершине треугольника B.

Для доказательства, что скалярное произведение векторов OC и AB равно нулю, мы должны показать, что эти два вектора перпендикулярны друг другу.

Для этого, нам нужно показать, что скалярное произведение двух векторов равно нулю, то есть OC·AB = 0.

Мы можем выразить вектор OC и вектор AB с помощью их координат:

OC = (xC - xO, yC - yO) AB = (xB - xA, yB - yA)

Теперь вычислим скалярное произведение OC·AB:

OC·AB = (xC - xO)(xB - xA) + (yC - yO)(yB - yA)

Распишем выражение:

OC·AB = xCxB - xCxA - xOxB + xOxA + yCyB - yCyA - yOyB + yOyA

Теперь, учитывая, что равносторонний треугольник ABC имеет равные стороны, мы можем сделать следующие выводы:

xC = xB xA = xC yC = yB yA = yC

Подставим эти значения в уравнение:

OC·AB = xBxB - xBxC - xOxB + xOxC + yCyB - yCyC - yOyB + yOyC

Теперь мы видим, что некоторые компоненты уравнения сокращаются:

OC·AB = xBxB - xBxC - xOxB + xOxC + yCyB - yCyC - yOyB + yOyC = xB(xB - xC) + xO(xC - xB) + yC(yB - yC) + yO(yC - yB)

Так как стороны треугольника ABC равны, то xB - xC и yB - yC равны нулю:

OC·AB = xB(xB - xC) + xO(xC - xB) + yC(yB - yC) + yO(yC - yB) = xB(0) + xO(0) + yC(0) + yO(0) = 0

Таким образом, мы доказали, что скалярное произведение векторов OC и AB равно нулю.