Question

Все стороны четырехугольника DABC равны, AE - средняя линия основания ABC. Покажите, что прямые DE և BC перпендикулярны.

Answer 1

Теорема. Для перпендикулярности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен направляющему вектору прямой b. Доказательство этого условия перпендикулярности прямых основано на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярных прямых.

Answer 2

Для доказательства того, что прямые DE и BC перпендикулярны, мы можем воспользоваться свойствами четырехугольника DABC и свойствами средних линий треугольника.

По условию, все стороны четырехугольника DABC равны. Это означает, что AB = BC = CD = DA.

Теперь рассмотрим среднюю линию AE основания ABC. Средняя линия треугольника это отрезок, соединяющий вершину треугольника (в данном случае вершину A) с серединой противоположной стороны (серединой стороны BC). Обозначим середину стороны BC как M.

Таким образом, мы имеем:

1. AB = BC (по условию)
2. AM = MC (так как AE - средняя линия)
3. AD = CD (по условию)

Теперь рассмотрим треугольник AMD и треугольник CMD. У нас есть:

• AM = MC
• AD = CD

Эти две стороны равны, а также у нас есть общий угол при вершине M (угол AMD и угол CMD). Согласно условию равенства сторон и углов, эти два треугольника равны (по стороне-угол-стороне).

Из равенства треугольников следует, что угол AMD равен углу CMD. Теперь обратим внимание, что угол CMD принадлежит четырехугольнику DABC.

Следовательно, угол AMD также принадлежит четырехугольнику DABC.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ADE. В нем у нас есть:

• Угол AMD = угол CMD (из вышеперечисленных равенств)
• AD = DE (по условию)

Таким образом, у нас есть две равные стороны и равные углы между ними в треугольнике ADE и треугольнике CMD, что делает эти два треугольника подобными (по признаку углов).

Из подобия треугольников следует, что угол AED (то есть угол между DE и AE) равен углу MCD (то есть угол между CM и CD).

Но угол MCD равен 90 градусов, так как сторона CD является основанием треугольника CMD, а AE - средней линией треугольника ABC.

Следовательно, угол AED (между DE и AE) также равен 90 градусов, что означает, что прямые DE и BC перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что DE и BC перпендикулярны, используя свойства средних линий треугольника и равные стороны четырехугольника DABC.