Question

Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной a и острым углом α. Меньшая диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

/_ВАD= α. (альфа)

АВ=а

/_ВDВ1=β

За теоремой косинусов найлем диагональ ВД

ВD^2=ВА^2+АD^2-2 ВА×АD×cosα=a^2+a^2-2a^2 cosα=2a^2(1-cosα)=4a^2sin^2(α/2)

BD=2a sin(α/2)

△BDB1, /_ B1BD=90° →BB1=BD tgβ=2a sin(α/2)tgβ

площадь боковой поверхности параллелепипеда равна сумме 4 площадей боковой грани

S=4s=4(ВА×ВВ1 )=4(a×2a sin(α/2)tgβ) =8a^2 sin(α/2)tgβ

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться геометрическими свойствами параллелепипеда и ромба.

Площадь боковой поверхности параллелепипеда состоит из четырех прямоугольников. Поскольку основание параллелепипеда - ромб, его боковые стороны также равны a.

Меньшая диагональ ромба делит его на два равных треугольника. Поскольку угол α - острый угол ромба, то угол внутри треугольника, образованного меньшей диагональю, также α.

Итак, мы имеем трапецию с основаниями a и a, и углами α и β. Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти высоту этой трапеции и умножить её на среднюю длину основы.

Высоту трапеции можно найти, используя тригонометрические функции. Внутренний угол треугольника между a и высотой трапеции можно найти как 180° - α - β.

Теперь можем использовать тангенс этого угла, чтобы найти высоту h:

$\tan(180° - α - β) = \frac{h}{a}$

Отсюда можно выразить h:

$h = a \cdot \tan(180° - α - β)$

Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна сумме площадей четырех прямоугольников:

$S = 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot a \cdot a$

Подставляем найденное значение h:

$S = 2 \cdot a \cdot a \cdot \tan(180° - α - β) + 2 \cdot a^2$

Это выражение дает площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда в зависимости от заданных углов α и β и длины стороны a.