Question

Гипотенузы МР и NF прямоугольных треугольников MNP и FPN пересекаются в точке К. MN = FP. Докажите, что: а) треугольник NKP равнобедренный;б) треугольник MNK равен треугольнику FPK.

Answer 1

MN=FP, PN - общий катет

△MNP=△FPN (по двум катетам)

∠M=∠F, ∠MPN=∠FNP

a)

∠MPN=∠FNP => ∠KPN=∠KNP

△NKP - равнобедренный (по признаку: углы при основании равны)

б)

Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90.

∠KPF =90-∠MPN =∠M

∠KNM =90-∠FNP =∠F

∠KPF =∠M =∠F =∠KNM

△MNK=△FPK (по стороне и прилежащим углам)

Answer 2

Объяснение:

Доказательство приведено в приложенном к ответу файле (рис. + пояснения)

Answer 3

Давайте докажем данные утверждения:

а) Для доказательства того, что треугольник NKP равнобедренный, нам нужно показать, что его боковые стороны NK и KP равны, а угол NKP равен углу NPK.

Поскольку MN = FP, у нас есть два равных отрезка MN и FP. Теперь давайте рассмотрим треугольники MNP и FPN. У них общая сторона NP и два равных отрезка MN и FP. По условию, гипотенузы MR и NF пересекаются в точке K. Это означает, что уголы NKM и FKP смежные вертикальные углы и, следовательно, равны между собой.

Теперь у нас есть следующие равенства:

1. MN = FP (по условию)
2. NK = KP (по равенству боковых сторон треугольников MNP и FPN)
3. Угол NKP = Угол NPK (по вертикальным углам)

Из этих равенств следует, что треугольник NKP равнобедренный, так как у него две равные стороны NK и KP, и один равный угол NKP.

б) Теперь давайте докажем, что треугольник MNK равен треугольнику FPK.

У нас уже есть равенство углов NKP и NPK, и мы знаем, что гипотенузы MR и NF пересекаются в точке K. Также у нас есть равенство боковых сторон MN и FP.

Теперь мы можем применить угловое равенство треугольников (УРТ). У нас есть две пары равных углов:

1. Угол NKP = Угол NPK (по вертикальным углам)
2. Угол MKN = Угол FKP (из равенства боковых сторон MN и FP)

Теперь, если две пары углов в двух треугольниках равны, треугольники равны по УРТ. Следовательно, треугольник MNK равен треугольнику FPK.

Таким образом, доказано, что треугольник NKP равнобедренный, и треугольник MNK равен треугольнику FPK.