Question

У трикутників cmb і c1m1b1,cb=c1b1,mb=m1b1,ca=c1a1.Де ca і c1a1 - медіани трикутника.Довести рівність бісектрис bk і b1k1(В треугольников cmb и c1m1b1, cb = c1b1, mb = m1b1, ca = c1a1.Де ca и c1a1 - медианы трикутника.Довесты равенство биссектрис bk и b1k1)Срочно!!!!

Answer 1

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

CA - медиана, A - середина MB, AB=MB/2

C1A1 - медиана, A1 - середина M1B1, A1B1=M1B1/2

MB=M1B1 => MB/2 =M1B1/2 => AB=A1B1

CB=C1B1, CA=C1A1

△ABC=△A1B1C1 (по трем сторонам)

∠ABC=∠A1B1C1 => ∠MBC=∠M1B1C1

MB=M1B1, CB=C1B1, ∠MBC=∠M1B1C1

△MBC=△M1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)

В равных треугольниках равны соответствующие элементы - в частности биссектрисы из соответствующих вершин, BK=B1K1.

Докажем.

MB=M1B1, ∠M=∠M1

∠MBC=∠M1B1C1 => ∠MBC/2=∠M1B1C1/2 => ∠MBK=∠M1B1K1

△MBK=△M1B1K1 (по стороне и прилежащим углам)

BK=B1K1

Answer 2

Для доведення рівності бісектрис BK і B1K1 у трикутниках CMB і C1M1B1, спершу введемо позначення:

1. Нехай CA і C1A1 - медіани трикутників CMB і C1M1B1 відповідно, тобто CA - медіана трикутника CMB, і C1A1 - медіана трикутника C1M1B1.

2. За умовою CB = C1B1 і MB = M1B1.

3. Нехай K - точка перетину бісектрис трикутника CMB, а K1 - точка перетину бісектрис трикутника C1M1B1.

Тепер, щоб довести рівність BK = B1K1, розглянемо наступні рівності трикутників:

У трикутнику CMB:

a) За визначенням медіани, точка A лежить на лінії MB, і CA ділить MB пополам. Тобто MA = MB.

b) Бісектриса BK ділить кут CMB на два рівних кута, отже, ∠CBK = ∠KBM.

У трикутнику C1M1B1:

a) За визначенням медіани, точка C1A1 лежить на лінії M1B1, і C1A1 ділить M1B1 пополам. Тобто M1A1 = M1B1.

b) Бісектриса B1K1 ділить кут C1M1B1 на два рівних кута, отже, ∠C1B1K1 = ∠K1B1M1.

Зараз ми маємо два трикутники CMB і C1M1B1, де:

1. MA = M1A1 (за визначенням медіани).
2. ∠CBK = ∠C1B1K1 (бісектриси ділять відповідні кути на два рівних кута).

З цих рівностей і схожих кутів в обох трикутниках випливає, що трикутники CMB і C1M1B1 подібні (за кутами і відповідними сторонами).

Тепер, враховуючи подібність трикутників, ми можемо сказати, що відповідні відрізки у цих трикутниках пропорційні, включаючи відрізок BK і B1K1. Отже, ми маємо BK / B1K1 = MA / M1A1.

Але, оскільки MA = M1A1 (за визначенням медіани), ми можемо записати:

BK / B1K1 = 1

Тобто BK дорівнює B1K1.

Цим доведено, що бісектриса BK трикутника CMB дорівнює бісектрисі B1K1 трикутника C1M1B1.