Question

Радиус вписанной в ромб окружности равен 2, острый угол ромба равен 30°. Найдите площадь ромба.

Answer 1

Дано: ромб ABCD, ∠C = 30°,

          вписанная окружность с центром О, R = 2.

Найти: $S_{ABCD}$

Решение:

Проведём высоту  DH ⊥ BC.

Высота ромба равна диаметру вписанной окружности:

DH = 2R = 2·2 = 4

ΔDHC - прямоугольный, ∠DHC=90°, ∠C=30°.

Катет DH, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, значит:

DC = 2DH = 2·4 = 8, все стороны ромба равны 8.

Площадь ромба:

$S_{ABCD}=BC\cdot DH=8\cdot 4=32$

Ответ: 32 ед².

Answer 2

Чтобы найти площадь ромба, нам нужно знать длины его сторон. Мы знаем, что радиус вписанной окружности равен 2, и острый угол ромба равен 30 градусам. Сначала найдем длину одной из сторон ромба, а затем используем её для вычисления площади.

1. Разделим ромб на четыре равных треугольника, каждый из которых имеет угол 30 градусов при вершине.

2. Для одного из этих треугольников найдем длину его боковой стороны (половины диаметра вписанной окружности).

   Половина диаметра вписанной окружности равна радиусу, который равен 2.

3. Для нахождения длины боковой стороны ромба воспользуемся тригонометрическими функциями в прямоугольном треугольнике. Так как у нас есть угол 30 градусов и гипотенуза (радиус окружности), мы можем использовать синус:

   Длина боковой стороны ромба = 2 * sin(30°) = 2 * (1/2) = 1.

4. Теперь, когда мы знаем длину одной стороны ромба, мы можем вычислить его площадь. Площадь ромба равна произведению длин двух его соседних диагоналей, разделенному на 2:

   Площадь = (Диагональ1 * Диагональ2) / 2.

5. Ромб можно разбить на два равных равнобедренных треугольника. Одна из диагоналей ромба будет являться основанием такого треугольника, а высотой будет половина длины другой диагонали. Диагональ ромба - это двойная боковая сторона ромба, так что:

   Диагональ1 = 2 * 1 = 2.

6. Вторая диагональ будет соединять противоположные вершины ромба и, следовательно, будет равна диагонали окружности. Диаметр окружности равен 4 (2 * радиус), так что:

   Диагональ2 = 4.

7. Теперь мы можем вычислить площадь ромба:

   Площадь = (2 * 4) / 2 = 4.

Итак, площадь ромба равна 4 квадратным единицам.