Question

В круговой сектор, ограниченный радиусами ОА и 0В, с центральным углом а ( а < пи / 2) вписан квадрат так, что две его соседние вершины лежат на радиусе ОА, третья вершина - на радиусе ОВ, а четвертая вершина - на дуге АВ. Найти отношение площадей квадрата и сектора

Answer 1

Площадь сектора выражается формулой S = π х r² х α/360.

Для определения стороны квадрата воспользуемся свойством хорд, пересекающихся в круге.

Для двух хорд AC и BD, пересекающихся в точке S, выполняется следующее равенство:  |AS| *|SC|=|BS|* |SD|.

Значения двух произведений в теореме о хордах зависит от расстояния точки пересечения S от центра окружности и называется абсолютным значением степени точки S. Более точно это можно выразить следующим образом:

|AS|* |SC|=|BS|* |SD|=r^{2}-d^{2},

где r является радиусом окружности, а d является расстоянием между центром окружности и точкой пересечения S.

На прилагаемом чертеже точкой S является точка D.

Примем длину стороны вписанного квадрата за х.

Тогда  |AS|* |SC| = х².

Расстояние d = x + (x/tg α).

Составляем уравнение:

x² = r² - (x + (x/tg α))².

Отсюда находим выражение длины стороны квадрата через радиус и угол: x² = r²*tg²(α)/(tg²(α) + (1 + tg(α))²).

Если для конкретных данных подставим значение r = 1, α = π/4, то получим S(кв) = x² = 1/5.

Для сектора радиусом r = 1, α = π/4 площадь S = π/8.

Отношение S(кв)/S = 8(5*π).

Answer 2

Для нахождения отношения площадей квадрата и сектора, мы можем сначала выразить площадь квадрата и площадь сектора, а затем поделить одно на другое.

1. Площадь сектора: Площадь сектора можно выразить как долю от площади всего круга. Площадь всего круга равна πR^2, где R - радиус круга.

В данном случае, радиус круга равен ОА, и у нас есть центральный угол а (a < π/2), который составляет часть круга. Таким образом, площадь сектора равна:

Площадь сектора = (а / 2π) * π(ОА)^2 = (а/2) * (ОА)^2

2. Площадь квадрата: Для нахождения площади квадрата, нам нужно найти его сторону. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусами ОА, ОВ и диагональю квадрата. Этот треугольник прямоугольный, и мы можем использовать тригонометрию для нахождения стороны квадрата.

Так как a < π/2, то:

sin(a) = (ОВ) / (ОА)

Отсюда:

ОВ = ОА * sin(a)

Теперь, чтобы найти диагональ квадрата, мы можем удвоить сторону:

Диагональ квадрата = 2 * ОВ = 2 * ОА * sin(a)

Площадь квадрата равна квадрату диагонали:

Площадь квадрата = (2 * ОА * sin(a))^2 = 4 * (ОА^2) * (sin^2(a))

3. Отношение площадей: Теперь мы можем найти отношение площадей квадрата и сектора:

Отношение = (Площадь квадрата) / (Площадь сектора) = (4 * (ОА^2) * (sin^2(a))) / ((а/2) * (ОА)^2)

Сократим (ОА^2) из числителя и знаменателя:

Отношение = 4 * (sin^2(a)) / (а/2)

Таким образом, отношение площадей квадрата и сектора равно:

Отношение = 8 * (sin^2(a)) / а