Question

Дано трикутник ABC. Площина а , яка паралельна стороні AC, перетинає сторону AB трикутника в точці D , а сторону BC–в точці E. Обчисліть DE , якщо BE:BC=4:5, AC=15 см.

Answer 1

Ответ:

DE = 12 см

Объяснение:

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

АС║α, плоскость (АВС) проходит через АС и пересекает плоскость α по прямой DE, значит DE║AC.

Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному, значит

ΔDBE ~ ΔABC.

$\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{BE}{BC}$

$\dfrac{DE}{15}=\dfrac{4}{5}$

$\boldsymbol{DE}=\dfrac{4\cdot 15}{5}=4\cdot 3\boldsymbol{=12}$ см

Answer 2

Для обчислення довжини відрізка DE, спочатку визначимо довжину відрізка BC, а потім знайдемо відповідну довжину DE.

Дано: AC = 15 см BE:BC = 4:5

Позначимо довжину BC як x. Тоді довжина BE дорівнює 4x/5.

Знаємо, що AC = AE + EC, тому AE = AC - EC = 15 - x.

Також, ми знаємо, що трикутник ABC має площу паралельну стороні AC, яка перетинає сторону AB в точці D. Площа трикутника може бути обчислена за формулою S = 0.5 * AE * AB, де AB - сторона трикутника, перпендикулярна до паралельної лінії.

Отже, площа трикутника ABC: S = 0.5 * AE * AB = 0.5 * (15 - x) * BC = 0.5 * (15 - x) * x = 7.5x - 0.5x^2

Тепер, використовуючи дану співвідношення між BE і BC, ми можемо виразити BC через x: BE = 4x/5 BC = 5x/4

Ми знаємо, що площа трикутника ABC також може бути обчислена за формулою Герона: S = sqrt[s(s - AB)(s - AC)(s - BC)], де s - півпериметр трикутника: s = (AB + AC + BC) / 2.

Підставимо значення та вирішимо для x: 7.5x - 0.5x^2 = sqrt[s(s - AB)(s - AC)(s - BC)]

Знаючи, що AB = AC = 15 см, півпериметр s = (15 + 15 + BC) / 2 = (30 + BC) / 2 = 15 + BC / 2, підставимо вираз для s у рівняння: 7.5x - 0.5x^2 = sqrt[(15 + BC / 2)(15 + BC / 2 - 15)(15 + BC / 2 - 15)(15 + BC / 2 - BC)]

Розкриваємо квадратні корені та спрощуємо: 7.5x - 0.5x^2 = sqrt[(15 + BC / 2)(BC / 2)(BC / 2)(BC / 2)] 7.5x - 0.5x^2 = sqrt[(15BC^3) / 64]

Тепер піднесемо обидві сторони до квадрату, щоб позбутися квадратного кореня: (7.5x - 0.5x^2)^2 = (15BC^3) / 64

Розкриваємо квадрат та спрощуємо: 56.25x^2 - 7.5x^3 + 0.25x^4 = (15BC^3) / 64

Перепишемо рівняння у стандартній формі та спрощуємо: 0.25x^4 - 7.5x^3 + 56.25x^2 - (15BC^3) / 64 = 0

Це кубічне рівняння відносно x. Для знаходження x використовуємо числові методи, такі як метод бісекції або метод Ньютона, або можна використовувати калькулятор чи програму для обчислень. Після знаходження x ми можемо знайти BE та DE:

BE = 4x/5 DE = BC - BE = BC - 4x/5