Question

Площина паралельна до сторони АВ трикутника АВС перетинає сторону АС в точці А1, а сторону ВС в точці В1. Знайдіть довжину відрізка А1В1, якщо АВ= 24 см та АА1: А1С=5:3

Answer 1

Ответ:

А₁В₁ = 9 см

Объяснение:

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.

Прямая АВ параллельна плоскости α, плоскость АВС проходит через АВ и пересекает плоскость α по прямой А₁В₁, значит А₁В₁║АВ.

Прямая, параллельная стороне треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному.

ΔCA₁B₁ ~ ΔСАВ

$\dfrac{A_1B_1}{AB}=\dfrac{CA_1}{CA}$

По условию AA₁ : A₁C = 5 : 3, т.е. СА₁ составляет 3 части, а СА - 8 частей.

$\dfrac{A_1B_1}{24}=\dfrac{3}{8}$

$A_1B_1=\dfrac{24\cdot 3}{8}=9$  см

Answer 2

Для знаходження довжини відрізка A1V1 спершу знайдемо довжини відрізків AA1 і A1C.

Маємо відомо, що відношення довжини AA1 до A1C дорівнює 5:3. Отже, можемо записати:

AA1 / A1C = 5 / 3

Також маємо відомо, що AA1 + A1C дорівнює довжині AC. АС - це одна зі сторін трикутника ABC, і ми знаємо, що AB = 24 см.

Таким чином:

AA1 + A1C = AC AA1 + A1C = 24 см

Ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими:

1. AA1 / A1C = 5 / 3
2. AA1 + A1C = 24

Спершу розв'яжемо друге рівняння відносно AA1:

AA1 = 24 - A1C

Тепер підставимо це значення в перше рівняння:

(24 - A1C) / A1C = 5 / 3

Перекреслимо дроби і отримаємо:

3(24 - A1C) = 5A1C

Розкриємо дужки:

72 - 3A1C = 5A1C

Перенесемо все на одну сторону:

72 = 5A1C + 3A1C

72 = 8A1C

Тепер поділимо обидві сторони на 8:

A1C = 72 / 8 A1C = 9 см

Тепер, коли ми знаємо довжину A1C, можемо знайти довжину A1V1. Оскільки A1V1 - це діагональ паралельної площини трикутника, A1V1 ділить трикутник A1BC на два прямокутні трикутники.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника маємо:

(A1V1)^2 = (A1B)^2 + (BV1)^2

А1B - це половина відрізка AB, тобто 24 / 2 = 12 см. BV1 - це половина відрізка BC, тобто 9 / 2 = 4,5 см.

Тепер можемо обчислити A1V1:

(A1V1)^2 = (12 см)^2 + (4,5 см)^2 (A1V1)^2 = 144 см^2 + 20,25 см^2 (A1V1)^2 = 164,25 см^2

Тепер витягнемо квадратний корінь:

A1V1 = √164,25 см A1V1 ≈ 12,81 см

Отже, довжина відрізка A1V1 приблизно дорівнює 12,81 см.