Question

.вершини трикутника мають кординати А(3;1;2),В(1;2;-1),С(-2;2;1) 1.Доведіть,що трикутник АВС-прямокутний. 2.Обчисліть площу трикутника АВС. на листочку будь-ласка

Answer 1

Ось твое правильне рішення

Answer 2

Звідси важливо визначити вектори сторін та використати їх для розв'язання задачі.

1. Для доведення, що трикутник ABC є прямокутним, потрібно перевірити, чи є їхні вектори взаємно перпендикулярними. Якщо добуток скалярний двох векторів буде рівний нулю, то вони є перпендикулярними.

Вектори сторін трикутника:

• Вектор AB: $\vec{AB} = \langle 1 - 3, 2 - 1, -1 - 2 \rangle = \langle -2, 1, -3 \rangle$
• Вектор AC: $\vec{AC} = \langle -2 - 3, 2 - 1, 1 - 2 \rangle = \langle -5, 1, -1 \rangle$

Тепер знайдемо їхні скалярні добутки:

• $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-2) \cdot (-5) + 1 \cdot 1 + (-3) \cdot (-1) = 10 + 1 + 3 = 14$

Добуток не дорівнює нулю, отже, трикутник ABC не є прямокутним.

2. Площу трикутника можна обчислити за формулою півпериметр із Геронової формули, оскільки маємо координати вершин:

Спершу знайдемо довжини сторін трикутника AB, BC та AC, використовуючи відстань між точками у тривимірному просторі:

• Довжина AB: $|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$
• Довжина BC: $|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (2 - 1)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$
• Довжина AC: $|\vec{AC}| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1 + 1} = \sqrt{27}$

Півпериметр трикутника $s$: $s = \frac{|\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{AC}|}{2}$

Площа трикутника $S$ за Героновою формулою: $S = \sqrt{s(s - |\vec{AB}|)(s - |\vec{BC}|)(s - |\vec{AC}|)}$

Підставим значення і обчислимо площу трикутника:

$s = \frac{\sqrt{14} + \sqrt{6} + \sqrt{27}}{2}$

$S = \sqrt{s(s - \sqrt{14})(s - \sqrt{6})(s - \sqrt{27})}$