Question

ПОМОЖІТЬ ДАМ 40 БАЛОВ Знайдіть косинус кутів трикутника з вершинами А(1;6) B(-2;3) C(2;-1).

Answer 1

Ответ:

Угол между векторами  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  находится по формуле   $cos\varphi =\dfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$    

Скалярное произведение  $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$  .

Длина вектора   $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$  .

$A(1;6)\ \ ,\ \ B(-2;3)\ \ ,\ \ C(2;-1)\\\\a)\ \ \overline{AB}=(-2-1;3-6)=(-3;-3)\ \ ,\ \ \overline{AC}=(2-1;-1-6)=(1;-7)\\\\|\overline{AB}|=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2\ \ ,\ \ |\overline{AC}|=\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2\\\\\overline{AB}\cdot \overline{AC}=-3\cdot 1-3\cdot (-7)=-3+21=18\\\\cos\alpha =\dfrac{18}{3\sqrt2\cdot 5\sqrt2}=\dfrac{6}{5\cdot 2}=\dfrac{3}{5}=0,6\ \ ,\ \ \alpha =arccos\, 0,6$

$b)\ \ \overline{BA} =(3;3)\ \ ,\ \ \overline{BC}=(4;-4)\\\\|\overline{BA}|=|\overline{AB}|=3\sqrt2\ \ ,\ \ \ |\overline{BC}|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2\\\\\overline{BA}\cdot \overline{BC}=3\cdot 4+3\cdot (-4)=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ cos\beta =0\ \ ,\ \ \beta =90^\circ$

$c)\ \ \overline{CA}=(-1;7)\ \ ,\ \ \overline{CB}=(-4;4)\\\\|\overline{CA}|=|\overline{AC}|=5\sqrt2\ \ ,\ \ |\overline{CB}|=|\overline{BC}|=4\sqrt{2}\\\\\overline{CA}\cdot \overline{CB}=-1\cdot (-4)+7\cdot 4=4+28=32\\\\cos\gamma =\dfrac{32}{5\sqrt2\cdot 4\sqrt2}=\dfrac{8}{5\cdot 2}=0,8\ \ ,\ \ \ \gamma =arccos\, 0,8$

Answer 2

Для знаходження косинусів кутів трикутника з вершинами A(1;6), B(-2;3) і C(2;-1), спершу нам потрібно знайти довжини сторін та дотичні відстані між цими точками.

Довжини сторін можна знайти за допомогою формули відстані між двома точками в координатній площині:

Для сторони AB: AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) AB = √((-2 - 1)² + (3 - 6)²) = √((-3)² + (-3)²) = √(9 + 9) = √18

Для сторони BC: BC = √((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²) BC = √((2 - (-2))² + (-1 - 3)²) = √((2 + 2)² + (-1 - 3)²) = √(4² + (-4)²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2

Для сторони AC: AC = √((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²) AC = √((2 - 1)² + (-1 - 6)²) = √((2 - 1)² + (-7)²) = √(1² + 7²) = √(1 + 49) = √50 = 5√2

Тепер, ми можемо використовувати закон косинусів для знаходження косинусів кутів:

Косинус кута A = (BC² + AC² - AB²) / (2 * BC * AC) Косинус кута B = (AC² + AB² - BC²) / (2 * AC * AB) Косинус кута C = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC)

Для кута A: Косинус кута A = (4√2² + 5√2² - √18²) / (2 * 4√2 * 5√2) Косинус кута A = (32 + 50 - 18) / (2 * 4 * 5 * 2) Косинус кута A = (64) / (40) Косинус кута A = 8 / 5

Для кута B: Косинус кута B = (5√2² + √18² - 4√2²) / (2 * 5√2 * √18) Косинус кута B = (50 + 18 - 32) / (2 * 5 * 3√2 * 3) Косинус кута B = (68 - 32) / (30√2) Косинус кута B = 36 / (30√2) Косинус кута B = 6 / (5√2)

Для кута C: Косинус кута C = (√18² + 4√2² - 5√2²) / (2 * √18 * 4√2) Косинус кута C = (18 + 32 - 80) / (2 * 6√2 * 8√2) Косинус кута C = (-30) / (96) Косинус кута C = -5 / 16

Отже, косинус кута A дорівнює 8/5, косинус кута B дорівнює 6/(5√2), і косинус кута C дорівнює -5/16.