Question

Плоскости α и β параллельны. Отрезок АВ расположен в плоскости α. Через его концы и точку К, лежащую между плоскостями, проведены прямые АК и ВК, пересекающие плоскость β в точках А1 и В1 соответственно. Найдите длину АА1, если АК=6дм, А1В1 : АВ = 3 : 4.

Answer 1

Ответ:

Длина AA₁ = 105 см

Объяснение:

Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны — значит параллельны отрезки AB и A₁B₁, лежащие в плоскости, образованной прямыми AA₁ и BB₁. Тогда треугольники ABK и A₁B₁K подобны по трем углам:

∠ABB₁ = ∠BB₁A₁  и ∠BAA₁ = ∠AA₁B₁  как накрест лежащие

∠AKB = ∠B₁KA₁ как вертикальные.

По условию А₁В₁ : АВ = 3 : 4 - тогда из подобия треугольников имеем, что и A₁K:AK  = 3/4.

АК=6дм = 60 см - тогда A₁K =AK*3/4=60*3/4 = 90/2 см = 45 см

AA₁ = AK+KA₁ = 60+45=105 см

Answer 2

Давайте обозначим длину отрезка AB как $x$ дециметров.

Так как отрезок $АВ$ лежит в плоскости $\alpha$, прямая $АК$ также лежит в этой плоскости.

Из условия задачи известно, что $АК = 6$ дециметров. Теперь мы можем использовать подобие треугольников $\triangle AKB$ и $\triangle A_1B_1K$, так как они имеют параллельные стороны ($AB$ и $A_1B_1$) и соответствующие углы (по условию, они прямые).

Мы можем записать пропорцию по длинам сторон:

$\dfrac{A_1B_1}{AB} = \dfrac{AK}{KB}$.

Мы знаем, что $A_1B_1 : AB = 3 : 4$ (по условию), и $AK = 6$ (дано). Осталось найти $KB$.

Из пропорции:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{KB}$.

Теперь найдем значение $KB$:

$KB = \dfrac{4 \cdot 6}{3} = 8$ дециметров.

Итак, длина отрезка $KB$ составляет 8 дециметров. Теперь мы можем найти длину отрезка $A_1A$ используя пропорцию:

$\dfrac{A_1A}{AK} = \dfrac{B_1B}{KB}$.

Мы знаем, что $AK = 6$ (дано), $KB = 8$ (посчитано выше), и $B_1B = AB - A_1B_1 = x - \dfrac{3}{7}x = \dfrac{4}{7}x$. Подставляем это в пропорцию:

$\dfrac{A_1A}{6} = \dfrac{\dfrac{4}{7}x}{8}$.

Решая это уравнение, мы найдем длину отрезка $A_1A$.