Question

Образом точки B(3;-4;1) при гомотетії із центром A(-1;2;9) є точка B1(-2;3,5;11). Знайдіть образ C1 точки C( 19;-6;37) при цій гомотетії

Answer 1

Ответ:

Для знаходження образу точки С(19; -6; 37) при гомотетії із центром в точці A(-1; 2; 9), яка перетворює точку B(3; -4; 1) в точку B1(-2; 3,5; 11), потрібно виконати наступні дії:

Знайдемо коефіцієнт гомотетії k, використовуючи співвідношення відстаней між точками A і B, та між точками A і B1:

k = AB1 / AB = ((-2 - (-1))^2 + (3.5 - 2)^2 + (11 - 9)^2)^0.5 / ((3 - (-1))^2 + (-4 - 2)^2 + (1 - 9)^2)^0.5 = 5/7

Знаходимо координати образу С1(x1, y1, z1), використовуючи формули гомотетії:

x1 = k * (x - xA) + xA

y1 = k * (y - yA) + yA

z1 = k * (z - zA) + zA

де (xA, yA, zA) - координати центру гомотетії, тобто точки A:

x1 = 5/7 * (19 - (-1)) - 1 = 113/7

y1 = 5/7 * (-6 - 2) + 2 = -24/7

z1 = 5/7 * (37 - 9) + 9 = 52/7

Отже, образ точки C(19; -6; 37) при гомотетії із центром в точці A(-1; 2; 9), яка перетворює точку B(3; -4; 1) в точку B1(-2; 3,5; 11), є точка C1(113/7; -24/7; 52/7).

Answer 2

Для знаходження образу точки C1 при гомотетії з центром A ізвідносимо вектори AB і AC на однаковий коефіцієнт зменшення (або збільшення), який в даному випадку дорівнює відношенню довжини вектора AB1 до довжини вектора AB.

Спершу знайдемо вектор AB: AB = B - A = (3 - (-1), -4 - 2, 1 - 9) = (4, -6, -8)

Тепер знайдемо вектор AC: AC = C - A = (19 - (-1), -6 - 2, 37 - 9) = (20, -8, 28)

Тепер знайдемо коефіцієнт гомотетії (k), який дорівнює відношенню довжини вектора AB1 до довжини вектора AB: k = |AB1| / |AB|

Довжина вектора AB1: |AB1| = sqrt((-2 - (-1))^2 + (3.5 - 2)^2 + (11 - 9)^2) = sqrt(1 + 2.25 + 4) = sqrt(7.25)

Довжина вектора AB: |AB| = sqrt(4^2 + (-6)^2 + (-8)^2) = sqrt(16 + 36 + 64) = sqrt(116)

Тепер знайдемо k: k = sqrt(7.25) / sqrt(116)

Тепер можемо знайти вектор BC1 (вектор, який ми будемо додавати до B1, щоб знайти C1): BC1 = k * AC

BC1 = (sqrt(7.25) / sqrt(116)) * (20, -8, 28)

Тепер обчислимо кожну координату вектора BC1: BC1x = (sqrt(7.25) / sqrt(116)) * 20 BC1y = (sqrt(7.25) / sqrt(116)) * (-8) BC1z = (sqrt(7.25) / sqrt(116)) * 28

Тепер додамо вектор BC1 до точки B1, щоб знайти точку C1: C1x = -2 + BC1x C1y = 3.5 + BC1y C1z = 11 + BC1z

Отже, координати точки C1 будуть: C1x = -2 + (sqrt(7.25) / sqrt(116)) * 20 C1y = 3.5 + (sqrt(7.25) / sqrt(116)) * (-8) C1z = 11 + (sqrt(7.25) / sqrt(116)) * 28

Це дасть вам координати точки C1 в результаті гомотетії.