Question

Чи лежать точки А(0;-4; 7), B(5; 6; 2) і C(-1 -6; 8) на одній прямій? Якщо відповідь позитивна, вкажіть, яка з точок лежить між двома іншими​

Answer 1

Відповідь:

Не можна вказати, яка з точок лежить між двома іншими, оскільки вони не лежать на одній прямій.

Пояснення:

Вектор, спрямований від точки A до точки B, можна обчислити як різницю координат цих точок:

AB = (5 - 0; 6 - (-4); 2 - 7) = (5; 10; -5)

Аналогічно, вектор BC можна обчислити як різницю координат точок B та C:

BC = (-1 - 5; -6 - 6; 8 - 2) = (-6; -12; 6)

Тоді векторний добуток AB і BC можна обчислити як:

AB × BC = (5; 10; -5) × (-6; -12; 6) = (60; -60; -60)

Якщо векторний добуток дорівнює нулю, то ці вектори лежать на одній прямій. Так як (60; -60; -60) ≠ (0; 0; 0), то точки A, B та C не лежать на одній прямій.

Отже, не можна вказати, яка з точок лежить між двома іншими, оскільки вони не лежать на одній прямій.

Answer 2

Для того щоб визначити, чи лежать точки $A(0, -4, 7)$, $B(5, 6, 2)$ і $C(-1, -6, 8)$ на одній прямій, спершу треба перевірити, чи вони задовольняють умову для лежання на одній прямій. Для цього ми можемо використовувати параметричну формулу прямої в тривимірному просторі.

Параметрична формула прямої у тривимірному просторі виглядає наступним чином:

$\begin{cases} x = x_1 + at \\ y = y_1 + bt \\ z = z_1 + ct \end{cases}$

де $(x_1, y_1, z_1)$ - координати початкової точки прямої, $a, b, c$ - параметри напрямного вектора прямої, а $t$ - параметр.

Отже, ми можемо записати параметричні рівняння для прямої, яка проходить через точки $A$ і $B$:

$\begin{cases} x = 0 + 5t \\ y = -4 + 10t \\ z = 7 - 5t \end{cases}$

Тепер перевіримо, чи точка $C$ задовольняє ці параметричні рівняння для якоїсь значення параметра $t$. Підставим координати точки $C$ у вирази для $x$, $y$ і $z$:

$\begin{cases} -1 = 5t \\ -6 = -4 + 10t \\ 8 = 7 - 5t \end{cases}$

З першого рівняння отримуємо $t = -\frac{1}{5}$, а з інших рівнянь отримуємо $t = \frac{2}{5}$. Отже, точка $C$ задовольняє параметричні рівняння прямої для $t = \frac{2}{5}$.

Таким чином, точки $A$, $B$ і $C$ лежать на одній прямій, і точка $C$ лежить між точками $A$ та $B$.