Question

периметр равнобедренного треугольника ABC равен 80см. AB=BC, отрезок BD является биссектрисой. периметр треугольника ABD равен 60см. найдите длину высоты, опущенной на сторону AC​

Answer 1

Ответ: BD=20 cm - высота опущенная на АС

Объяснение:

Высота , опущенная на сторону АС и есть BD,  так как АВ=ВС=> AC-основание треугольника АВС,  в равнобедренном треугольнике

биссектриса опущенная на основание одновременно является высотой и медианой.

=> AD=AC/2=0.5*AC

Периметр АВС =80 см  Значит

AB+BC+AC=80 => 2*AB+AC=80 (так как AB=BC) => AB+0.5*AC=40   (1)

Периметр ABD = 60 см , значит

AB+0.5AC+BD=60  Подставим вместо АВ+0.5АС ( согласно (1))

=> 40+BD=60

=> BD=20 cm

Answer 2

Для решения этой задачи давайте обозначим неизвестные длины сторон и высоту треугольника ABC.

Пусть: AB = BC = x (так как треугольник равнобедренный) AC = 2x (периметр равнобедренного треугольника равен 80, а у нас две стороны равны x, поэтому AC = 2x) BD = y (длина отрезка BD)

Мы знаем, что периметр треугольника ABD равен 60 см, и у нас есть две стороны известной длины (AB и BD), поэтому длина стороны AD также равна 60 - x см.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABC. Мы можем разделить его пополам, используя высоту, опущенную из вершины B. Пусть H - это точка пересечения высоты с стороной AC.

Теперь у нас есть два треугольника: ABD и BCH (где H - это точка пересечения высоты и стороны AC). Оба эти треугольника равнобедренные, и мы можем использовать их свойства, чтобы найти y (BD) и высоту треугольника ABC.

В треугольнике ABD: AB = x AD = 60 - x BD = y (это длина биссектрисы)

Из свойств равнобедренного треугольника мы знаем, что биссектриса делит угол A на две равные части, поэтому:

cos(A/2) = BD / AB

cos(A/2) можно выразить через известные стороны треугольника ABD:

cos(A/2) = (AD/2) / AB

Теперь мы можем выразить BD (y):

BD = AB * cos(A/2) = x * (60 - x) / 2x

Упростим это выражение:

BD = (60 - x) / 2

Теперь у нас есть значение BD. Теперь мы можем найти высоту треугольника ABC, используя свойство равнобедренного треугольника:

Высота (h) треугольника ABC делит его на два подобных треугольника: AHB и BHC.

Из треугольника AHB:

tan(A/2) = h / BD

Мы уже выразили BD, и мы знаем, что tan(A/2) равен половине отношения высоты к боковой стороне равнобедренного треугольника:

tan(A/2) = h / (AC/2) = h / x

Теперь мы можем выразить h:

h = (x/2) * tan(A/2)

Теперь у нас есть формула для высоты h, и мы можем рассчитать её, зная значение x и вычислив значение tan(A/2).

Теперь давайте воспользуемся информацией о периметрах:

AB + BC + AC = 80 x + x + 2x = 80 4x = 80 x = 20

Теперь мы знаем значение x, и мы можем найти высоту h:

h = (20/2) * tan(A/2)

Теперь нам нужно найти значение tan(A/2). Мы можем воспользоваться тем, что треугольник ABC равнобедренный, и угол A/2 можно найти, используя соотношение сторон:

tan(A/2) = (AB/2) / h = 10 / h

Теперь мы можем выразить h:

h = (20/2) * (10 / h)

Умножим обе стороны на h:

h^2 = 10 * 20

h^2 = 200

h = √200

h ≈ 14.14 см

Таким образом, длина высоты, опущенной на сторону AC треугольника ABC, составляет примерно 14.14 см.