Question

Дано пряму l і точку Р, що їй не належить. Точка K не належить площині, що проходить через пряму l і точку Р. Доведіть, що прямі l і РК не перетинаються.

Answer 1

Для доведення того, що пряма l і пряма РК не перетинаються, можна використовувати метод внутрішньої та зовнішньої дотичної.

1. Розглянемо точку Р, яка не належить прямій l. Оскільки Р не належить прямій l, то будь-яка пряма, яка проходить через точку Р, буде перетинати пряму l або бути паралельною до неї, але точно не може бути дотичною до неї.

2. Тепер розглянемо точку K, яка не належить площині, що проходить через пряму l і точку Р. Оскільки K не належить цій площині, то жодна пряма, яка проходить через точку K, також не буде належати цій площині.

Отже, ми маємо дві точки Р і K, які лежать на прямій РК, і жодна з них не належить площині, що проходить через пряму l і точку Р. Це означає, що пряма РК не може перетинати пряму l, оскільки ніяка з цих точок не може бути дотичною до l у цій площині.

Answer 2

Для доведення того, що пряма $l$ і пряма $PK$ не перетинаються, ми можемо використовувати доказ від спростування (proof by contradiction).

Припустимо, що пряма $l$ і пряма $PK$ перетинаються в деякій точці $Q$. Тобто, існує точка $Q$, яка належить і прямій $l$, і прямій $PK$.

Також за умовою нам дано, що точка $P$ не належить прямій $l$, і точка $K$ не належить площині, що проходить через пряму $l$ і точку $P$. Отже, точка $K$ не лежить на прямій $l$, і точка $P$ не лежить в площині, що містить пряму $l$ і точку $K$.

Це означає, що точка $Q$ не може одночасно належати прямій $l$ і прямій $PK$, так як вона не належить прямій $l$ разом з точкою $P$, і не належить прямій $PK$ разом з точкою $K$.

Отже, наше припущення, що пряма $l$ і пряма $PK$ перетинаються в точці $Q$, є неправильним. Тобто, пряма $l$ і пряма $PK$ не перетинаються.

Ми використали метод спростування, щоб показати, що прямі $l$ і $PK$ не перетинаються, і довели це за допомогою протиріччя.