Question

Задание 3 (20 баллов). В равнобедренном треугольнике AMC с основанием AC проведены медианы AK и CD. Докажите, что треугольники ACD и CAK равны.

Answer 1

Для доказательства равенства треугольників ACD і CAK, ми можем використовувати метод геометричного розгляду, зокрема метод подібності та спільної сторони.

Оскільки треугольник AMC є рівнобедреним, то медіана AK є висотою і бісектрисою. Отже, він також є медіаною і відносно до треугольника ACD, і відносно до треугольника CAK.

Розглянемо дві пари трикутників:

1. Треугольники ACD і CAM: за головним властивостями медіан треугольника, медіана CD ділить треугольник AMC на два подібних трикутники ACD і CAM (за теоремою про подібність медіан). Таким чином, ми маємо подібність треугольників ACD і CAM.

2. Треугольники CAK і CAM: медіана AK ділить треугольник AMC на два подібних трикутники CAK і CAM.

Таким чином, ми маємо дві пари подібних трикутників: ACD і CAM, а також CAK і CAM.

З подібності трикутників ACD і CAM випливає, що вони мають однакові відношення сторін:

ACD/ACM = AD/AM = CD/CM

З подібності трикутників CAK і CAM випливає, що вони також мають однакові відношення сторін:

CAK/CAM = CK/CM = AK/AM

Оскільки AM є спільною для обох відношень, то ми можемо зробити висновок, що:

ACD/ACM = CAK/CAM

Це означає, що трикутники ACD і CAK подібні за двома кутами і спільною стороною (за теоремою про подібність). А так як ми вже знаємо, що треугольники CAM і CAM є ідентичними (оскільки це один і той самий трикутник), то ми можемо зробити висновок, що:

Треугольники ACD і CAK рівні, оскільки вони подібні і мають спільну сторону.

Answer 2

Для доказательства равенства треугольников ACD и CAK, давайте воспользуемся информацией о равнобедренном треугольнике AMC с основанием AC и проведенных медианах AK и CD.

1. Дано, что треугольник AMC является равнобедренным с основанием AC. Это означает, что угол MAC равен углу MCA.

2. Медиана AK делит треугольник AMC на два равных треугольника: AMK и CKA. Поскольку AM равно MC (так как это сторона равнобедренного треугольника), то AMK и CKA также равны.

3. Медиана CD также делит треугольник AMC на два равных треугольника: ACD и CMD. Снова, так как AM равно MC, то ACD и CMD также равны.

4. Теперь сравним треугольники ACD и CAK. Мы уже установили, что ACD и CKA равны, и также ACD и CMD равны. Следовательно, CKA и CMD также равны (по транзитивности равенства).

5. Теперь обратите внимание, что CMD и CAK - это две пары равных треугольников (CMD равен ACD и ACD равен CKA), имеющих общую сторону CK. Следовательно, по признаку равенства треугольников, треугольники CMD и CAK также равны.

Таким образом, мы доказали, что треугольники ACD и CAK равны.