Question

18. Докажите, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катетов. ​

Answer 1

Відповідь:

Снизу

Пояснення:

Для доказательства этого факта, мы можем использовать теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c, теорема Пифагора утверждает:

c^2 = a^2 + b^2

Где:

c - длина гипотенузы.

a и b - длины катетов.

Теперь давайте сравним c^2 (гипотенузу в квадрате) с a^2 + b^2 (суммой квадратов катетов).

Если гипотенуза больше катетов, то c^2 должно быть больше, чем a^2 + b^2. Мы видим:

c^2 = a^2 + b^2

Таким образом, гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов, что означает, что гипотенуза больше катетов, так как корень из c^2 больше, чем корень из a^2 + b^2.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, мы можем использовать неравенство треугольника. Неравенство треугольника гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Для прямоугольного треугольника у нас есть два катета и гипотенуза. Давайте обозначим длину катетов как a и b, а длину гипотенузы как c.

Таким образом, нам нужно доказать, что c > a и c > b.

Для этого рассмотрим два треугольника:

1. Треугольник, образованный катетом a, катетом b и гипотенузой c.
2. Треугольник, образованный катетом a, катетом b и отрезком, который является разницей между гипотенузой c и одним из катетов, скажем, a.

Оба эти треугольника являются прямоугольными треугольниками, поскольку они имеют угол в 90 градусов. Оба треугольника имеют общий катет (a) и общий катет (b). Следовательно, они подобны друг другу по углам и сторонам.

Теперь вспомним неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Применим его к нашим двум треугольникам:

Для первого треугольника: a + b > c Для второго треугольника: a + b > c - a

Оба выражения имеют одинаковую сумму (a + b) слева. Теперь мы видим, что:

a + b > c a + b > c - a

Так как a + b в обоих неравенствах одинаковое и положительное (поскольку длины сторон не могут быть отрицательными), то можно утверждать, что:

c > a c > c - a

Оба неравенства верны, и, следовательно, гипотенуза c больше обоих катетов a и b.

Таким образом, мы доказали, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катетов.