Question

В квадрате ABCD провели диагональ AC и отметили на ней точку M так, что AM = AB. Через точку M провели прямую, перпендикулярную AC, которая пересекает сторону BC в точке H. Докажите, что BH = HM = MC. Срочно!!

Answer 1

1. Треугольник HMC является прямоугольным и равнобедренным, так как угол HCM равен 45°. Поэтому HM = MC.

2. Треугольники ABH и AMH равны по катету и гипотенузе, так как AM = AB и AH — общая. Следовательно, BH = HM.

3. Из пункта 1 следует, что HM = MC, а из пункта 2 следует, что BH = HM. Таким образом, BH = HM = MC.

Answer 2

Для доказательства того, что BH = HM = MC, давайте рассмотрим квадрат ABCD и проведем несколько шагов.

1. Начнем с того, что AM = AB, так как M - это середина стороны AD квадрата ABCD.

2. Поскольку AM = AB, то треугольник AMB является равнобедренным, и у него угол AMB равен углу ABM.

3. Теперь рассмотрим треугольник AMC. Поскольку AM = AC (по определению квадрата), у них также равны углы CAM и CMA.

4. Поскольку у нас есть два равных угла: угол AMB = угол ABM и угол CAM = угол CMA, то угол ABM + угол CMA = 90 градусов (так как угол AMB + угол CAM = 90 градусов в прямоугольном треугольнике AMB и CAM).

5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AMH, где угол AMH = 90 градусов, так как HM - это высота, проведенная из M.

6. Из шага 4 следует, что угол ABM + угол CMA = 90 градусов. Таким образом, угол ABM = угол AMH и угол CMA = угол AMH.

7. Из равенства углов ABM и AMH следует, что треугольник ABM подобен треугольнику AMH (по признаку угловой подобности).

8. Поскольку треугольники подобны, соответствующие стороны пропорциональны. Значит, BH/HM = AM/AB = 1 (по условию), и отсюда BH = HM.

9. Теперь мы знаем, что HM = BH. Кроме того, из равенства углов CMA и AMH следует, что треугольник CAM также подобен треугольнику AMH. Таким образом, MC/HM = AM/AB = 1, и отсюда MC = HM.

Итак, мы доказали, что BH = HM = MC.