Question

. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 10 см, а один из углов, равен 140°.

Answer 1

В этой задаче только одна тонкость - 140 градусов - это угол при вершине. Поэтому угол при основании равен Ф = (180 - 140)/2 = 20 градусов (или пи/9). 

Осталось вспомнить теорему синусов 2*R*sin(Ф) = a; а = 10;

R = 5/sin(пи/9); само собой, это можно вычислить только приближенно (если только учитель не садист :) но в любом случае, это за пределами всех школьных программ)

R = 5/0,342020143325669 = 14,6190220008154; (слава Гейтсу, есть Excel)

 

Вот, чего только не узнаешь, ковыряясь в тривиальных задачах. Оказывается, тригонометрические функции угла 20 градусов теоретически невозможно выразить в радикалах. Оказывается, это противоречит некоей теореме Гаусса, согласно которой  с помощью циркуля и линейки можно построить не любой правильный n-угольник, а только для некоторых n, и 18-угольники в это разрешенное множество не входят. В частности, можно выразить в радикалах функции всех углов, кратных 3 градусам. 

Однако это не означает, что cos(пи/9) (или синус, не важно) нельзя "вычислить на кончике пера". Легко видеть, что 

cos(60) = 4*(cos(20))^3 - 3*cos(20); если x = cos(20); то

x^3 - (3/4)*x - 1/8 = 0;

У этого уравнение есть по крайней мере один действительный корень (равный косинусу 20 градусов, конечно). Есть формулы Кардано для решения в радикалах таких уравнений. Но - вот беда - результат, хоть и действительный, и будет выражен в радикалах, обязательно будет содержать внутри записи мнимую единицу i; i^2 = -1; и избавиться от неё в выражении никак не получится (в противном случае нарушилась бы та самая теорема Гаусса). :))))))))) это я так - развлекаюсь :)))

Answer 2

пусть дан треугольник ABC, AC основание

Тогда по т. косинусов найдем АС

АС^2=10^2+10^1-2*10*10*cos 140

AC^2=200-200*cos(180-40)

AC^2=200+200*cos 40

AC^2=200*(1+cos 40)=200*2*(cos 20)^2=400*(cos 20)^2

AC=20*cos 20

2R=AC/sin 140,(формула) sin 140=sin 40=2sin 20*cos 20

2R=20*cos 20/2sin 20*cos 20

2R=10/sin 20

R=5/sin 20

Answer 3

Для нахождения радиуса окружности, описанной около равнобедренного треугольника, мы можем воспользоваться законом синусов.

В данном случае, у нас есть боковая сторона треугольника (a = 10 см) и один из углов (C = 140°). Так как треугольник равнобедренный, то другой угол также равен 140°.

Закон синусов гласит:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$,

где:

• $a$ - длина стороны против угла $A$,
• $b$ - длина стороны против угла $B$,
• $c$ - длина стороны против угла $C$.

В данном случае $a = 10$ см и $C = 140$°.

Мы можем найти угол $A$ с использованием свойства, что сумма углов в треугольнике равна $180$°:

$A + 140° + 140° = 180°$,

$A + 280° = 180°$,

$A = 180° - 280°$,

$A = -100°$.

Так как угол $A$ не может быть отрицательным, то сначала найдем синус $A$ в радианах, а затем возьмем его абсолютное значение:

$\sin A = \sin(-100°) = \sin(100°)$.

Теперь мы можем использовать закон синусов для нахождения радиуса $R$, который описывает окружность:

$\frac{10 \text{ см}}{\sin 100°} = \frac{c}{\sin 140°}$.

Теперь выразим $c$:

$c = \frac{10 \text{ см} \cdot \sin 140°}{\sin 100°}$.

Вычислим это выражение:

$c \approx \frac{10 \cdot 0.766}{0.985} \approx 7.66$ см.

Таким образом, радиус окружности, описанной около данного равнобедренного треугольника, составляет примерно 7.66 см.