Question

составить уравнение линии,для каждой точки которой отношение расстояний до точки F(5;2) и прямой x=-2 равно 1.

Answer 1

Пусть (x;y) - бегущая точк линии

По формуле расстояния между двумя точками

уравнение линии,для каждой точки которой отношение расстояний до точки F(5;2) и прямой x=-2 равно 1. имеет вид

$\frac{\sqrt{(x-5)^2+(y-2)^2}}{\sqrt{(x-(-2))^2+(y-y)^2}}=1;\\\\\frac{(x-5)^2+(y-2)^2}{(x+2)^2}=1;$

 

 

Answer 2

Для составления уравнения линии, на которой отношение расстояний до точки F(5,2) и прямой x=-2 равно 1, можно воспользоваться определением эллипса.

Отношение расстояний от точки до фокуса (F) и прямой (x=-2) равно 1, это означает, что точка находится на эллипсе, где большая полуось равна расстоянию от точки F до прямой x=-2.

Расстояние от точки до прямой x=-2 равно разнице между x-координатой точки и x-координатой прямой:

d = |x - (-2)| = |x + 2|

Теперь у нас есть выражение для расстояния до прямой. Чтобы найти уравнение эллипса, нужно сделать так, чтобы расстояние от точки до F равнялось этому расстоянию до прямой.

Расстояние от точки до F можно найти с помощью формулы расстояния между двуми точками:

d = √((x - 5)^2 + (y - 2)^2)

Теперь мы можем записать уравнение эллипса:

√((x - 5)^2 + (y - 2)^2) = |x + 2|

Чтобы убрать корень, возводим обе стороны уравнения в квадрат:

(x - 5)^2 + (y - 2)^2 = (x + 2)^2

Раскрываем скобки:

x^2 - 10x + 25 + y^2 - 4y + 4 = x^2 + 4x + 4

Теперь упростим уравнение:

x^2 - 10x + 25 + y^2 - 4y + 4 = x^2 + 4x + 4

Вычитаем x^2 из обеих сторон:

-10x + 25 + y^2 - 4y + 4 = 4x + 4

Вычитаем 4x из обеих сторон:

-10x + 25 + y^2 - 4y + 4 - 4x = 4

Теперь упростим уравнение:

-10x - 4x + 25 + 4 - 4y + y^2 = 4

Сгруппируем по переменным:

-14x + y^2 - 4y + 29 = 4

Теперь выразим уравнение линии:

y^2 - 4y - 14x + 25 = 0

Это уравнение представляет линию, для которой отношение расстояний от каждой точки на этой линии до точки F(5,2) и прямой x=-2 равно 1.