Question

В окружности с центром в точке О проведены две хорды АВ и СД. Прямые АВ и СД перпендикулярны и пересекаются в точке М, лежащей вне окружности. При этом АМ = 36, ВМ=6, СД = 4V46 ( V - знак корня). Найти ОМ.

Answer 1

Опустить перпендикуляры на МД и МА из центра (пусть N и S соответственно) Рассмотреть прямоугольник ОSMN . Искомая МО - диагональ нашего четырехугольника. МS =(15+6) = 21=NO; Далье рассмотрим треугольник NOD (ОD - радиус окружности =R; ND = 1/2(CD)=2V46; ) NO=21 из прямоугольника ; Найдем радиус по теореме пифагора( R)2 = (NO)2+(ND)2 (2 - это в квадрате);Радиус равен 25. Из треугольника АSO (AO =R=21; AS = 15(как половина АВ)  найдем SO по теореме пифагора. SO =V (625-225) = 20; SO=MN =20; Теперь из треугольника ОSM найдем МО по теореме Пифагора. OM= V(20^2+21^2) = V841 = 29

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами пересекающихся хорд в окружности и теоремой Пифагора.

Дано:

1. $АМ = 36$.
2. $ВМ = 6$.
3. $СД = 4\sqrt{46}$.

Мы хотим найти длину отрезка $ОМ$.

Для начала определим длины отрезков $АО$ и $ВО$, используя теорему Пифагора. Поскольку хорды $АВ$ и $СД$ перпендикулярны и пересекаются в точке $М$, то у нас есть два прямоугольных треугольника: $АМО$ и $ВМО$.

1. В треугольнике $АМО$ имеем: $АМ^2 = АО^2 + ОМ^2$.
2. В треугольнике $ВМО$ имеем: $ВМ^2 = ВО^2 + ОМ^2$.

Известные значения:

1. $АМ = 36$.
2. $ВМ = 6$.

Теперь выразим $АО$ и $ВО$ из уравнений:

1. Из уравнения треугольника $АМО$: $АО = \sqrt{АМ^2 - ОМ^2} = \sqrt{36^2 - ОМ^2}$.
2. Из уравнения треугольника $ВМО$: $ВО = \sqrt{ВМ^2 - ОМ^2} = \sqrt{6^2 - ОМ^2}$.

Теперь мы знаем, что $АО$ и $ВО$ выражены через $ОМ$. Также известна длина хорды $СД = 4\sqrt{46}$.

Согласно свойствам пересекающихся хорд в окружности:

$$АО \cdot ОВ = СО \cdot ОD$$

Подставим найденные значения $АО$ и $ВО$:

$$\sqrt{36^2 - ОМ^2} \cdot \sqrt{6^2 - ОМ^2} = 4\sqrt{46} \cdot ОМ$$

Теперь решим это уравнение для $ОМ$. Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$$(36^2 - ОМ^2) \cdot (6^2 - ОМ^2) = (4\sqrt{46} \cdot ОМ)^2$$

Раскрываем скобки:

$$(36^2 - ОМ^2) \cdot (6^2 - ОМ^2) = 16 \cdot 46 \cdot ОМ^2$$

Далее упростим:

$$(1296 - ОМ^2) \cdot (36 - ОМ^2) = 16 \cdot 46 \cdot ОМ^2$$

Теперь раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$$1296 \cdot 36 - 36ОМ^2 - 1296ОМ^2 + ОМ^4 = 16 \cdot 46 \cdot ОМ^2$$

$$46656 - 36ОМ^2 - 1296ОМ^2 + ОМ^4 = 16 \cdot 46 \cdot ОМ^2$$