Question

даны точки к(0 1) м (-3 -3) N (1 -6) докажите что треугольник мкN является равнобедренным и прямоугольным.

Answer 1

1. Находим длины сторон треугольника.

КМ² = (-3-0)² + (-3-1)² = 9+16 = 25

КМ = 5

MN² = (1+3)² + (-6+3)² = 16 + 9 = 25

MN = 5

КМ=МN ⇒ Δ МКN - равнобедренный

 

2. Находим скалярное произведение векторов КМ и МN.

КМ = (-3-0; -3-1) = (-3; -4)

МN = (1+3; -6+3) = (4; -3)

КМ·МN = -3·4 + (-4)·(-3) = -12+12 = 0

Если скалярное произведение векторов равно 0, то угол между ними равен 90⁰.  Значит, <КМN - прямой. Отсюда следует, что Δ МКN является прямоугольным.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства, что треугольник МКN является равнобедренным и прямоугольным, давайте сначала найдем длины его сторон и углы.

1. Найдем длины сторон:

Для этого используем формулу для вычисления расстояния между двумя точками в координатной системе:

Длина стороны MK: MK = √((xM - xK)² + (yM - yK)²) MK = √((-3 - 0)² + (-3 - 1)²) MK = √((-3)² + (-4)²) MK = √(9 + 16) MK = √25 MK = 5

Длина стороны KN: KN = √((xK - xN)² + (yK - yN)²) KN = √(0 - 1)² + (1 - (-6))²) KN = √(1 + 49) KN = √50

Длина стороны MN: MN = √((xM - xN)² + (yM - yN)²) MN = √((-3 - 1)² + (-3 - (-6))²) MN = √((-3 - 1)² + (-3 + 6)²) MN = √((-2)² + (3)²) MN = √(4 + 9) MN = √13

2. Найдем углы треугольника:

Угол МКN можно найти с помощью косинусного закона, так как у нас есть длины всех сторон:

cos(∠МКN) = (MK² + KN² - MN²) / (2 * MK * KN) cos(∠МКN) = (5² + (√50)² - (√13)²) / (2 * 5 * √50) cos(∠МКN) = (25 + 50 - 13) / (10 * √50) cos(∠МКN) = (62 - 13) / (10 * √50) cos(∠МКN) = 49 / (10 * √50)

Теперь найдем значение cos(∠МКN):

cos(∠МКN) ≈ 0.31

Теперь найдем сам угол ∠МКN, взяв обратный косинус от приближенного значения:

∠МКN ≈ arccos(0.31) ≈ 72.5 градусов

Теперь у нас есть информация о длинах сторон и угле треугольника МКN:

MK = 5 KN = √50 MN = √13 ∠МКN ≈ 72.5 градусов

Так как один из углов треугольника МКN равен приближенно 90 градусов (близко к прямому углу), и две стороны МК и KN имеют равные длины, треугольник МКN можно считать равнобедренным и прямоугольным.