Question

Точка М не принадлежит плоскости прямоугольника АВСД. Прямая а проходит через точку М и параллельна прямой АС. Докажите , что прямая , проходящая через середины отрезков МА и МС , параллельна плоскости прямоугольника .

Answer 1

Рисуешь 4-угольник, потом отмечаешь точку М(не на плоскости) , проводишь МА и МС, потом прямую соеденяющюю середины МА и МС(назовём её КN).
 НУ так вот у нас получился треугольник АМС и отрезо KN является средней линией треугольника!
=> что KN ll АС => по теореме * (следствие *) KN ll плоскости ABCD Ч.Т.Д.

Answer 2

Для доказательства того, что прямая, проходящая через середины отрезков MA и MC, параллельна плоскости прямоугольника ABCD, рассмотрим следующее:

1. Для начала, обозначим середины отрезков MA и MC как P и Q соответственно.

2. Так как прямая а параллельна прямой AC, то угол между прямой а и плоскостью ABCD будет равен углу между прямой а и прямой AC. Пусть этот угол обозначается как α.

3. Также обратим внимание, что треугольник MAP подобен треугольнику MAQ (по двум углам, так как угол α одинаков в обоих треугольниках и угол MAP прямой). Это следует из того, что угол MAP равен углу MAQ (по условию), а угол AMP и угол AMQ прямые.

4. Поскольку треугольник MAP подобен треугольнику MAQ, отношение длины отрезка MP к MQ равно отношению длины отрезка MA к MA, то есть 1:1.

5. Это означает, что отрезок MP равен по длине отрезку MQ.

6. Теперь, рассмотрим треугольник MPQ. Так как MP и MQ равны по длине, то угол MPQ равен углу MQP.

7. Так как угол MQP равен углу MAP (по вертикальным углам), а угол MAP равен углу α, то угол MPQ также равен α.

8. Поскольку угол MPQ равен углу α, а угол α равен углу между прямой а и плоскостью ABCD, то прямая MP параллельна плоскости ABCD.

Таким образом, прямая, проходящая через середины отрезков MA и MC, действительно параллельна плоскости прямоугольника ABCD.