Question

Даны прямая а и точки М и N, лежащие по одну сторону от нее. Докажите, что на прямой а существует единственная точка X, такая, что сумма расстояний MX+XN имеет наименьшее значение.

Answer 1

Вот решение)                ...     .......

Answer 2

Чтобы доказать, что на прямой a существует единственная точка X, для которой сумма расстояний MX + XN имеет наименьшее значение, давайте воспользуемся методом математической оптимизации.

Обозначим через X точку на прямой a, для которой сумма расстояний MX + XN минимальна. Теперь давайте рассмотрим другую точку Y на прямой a и покажем, что сумма расстояний MY + YN не может быть меньше, чем MX + XN.

Предположим, что существует точка Y на прямой a, такая что MY + YN < MX + XN. Тогда рассмотрим точку Z, которая находится между X и Y и лежит на прямой a. Таким образом, мы имеем:

MX + XN > MY + YN > MZ + ZN

Теперь давайте рассмотрим сумму расстояний MZ + ZN. Поскольку точка Z лежит между X и Y, расстояние MZ + ZN будет меньше, чем расстояние MX + XN, так как Z ближе к M и N, чем X. Это противоречит тому, что X была выбрана как точка с минимальной суммой расстояний MX + XN.

Следовательно, наша исходная гипотеза неверна, и нет такой точки Y на прямой a, для которой сумма расстояний MY + YN меньше, чем MX + XN. Таким образом, X - единственная точка на прямой a, для которой сумма расстояний MX + XN имеет наименьшее значение.