Question

Точки Т и О - соответственно середины сторон АВ и ВС треугольника АВС. В треугольник ВТО вписана окружность. Вычислите длину радиуса окружности, если известно, что площадь треугольника ТВО равна 12 см2 , а периметр треугольника АВС равен 16 см

Answer 1

Треугольник TBO подобен треугольнику ABC, т.к. Т и О-середины сторон АВ и ВС. 

Следовательно, ТО-средняя линия треугольника АВС. АС=2ТО. 

Периметр АВС = 2 периметрам ТВО. Периметр треугольника ТВО=16:2=8. 

Площадь треугольника ТВО = 12. 

Площадь треугольника ТВО:

  $S= \frac{1}{2}P*r$

Отсюда: 

$r= \frac{S}{p}= \frac{12}{4}=3.$, где [tex] p-полу периметр. 

Ответ: r=3. 

Answer 2

Давайте рассмотрим, как можно решить эту задачу.

Периметр треугольника ABC равен 16 см. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. Поскольку Т и О - середины сторон AB и BC соответственно, то стороны треугольника ТВО равны половине соответствующих сторон треугольника ABC.

Пусть сторона AB треугольника ABC равна a, сторона BC равна b, а сторона AC равна c. Тогда стороны треугольника ТВО равны a/2 и b/2.

Периметр треугольника ABC равен:

P_ABC = a + b + c = 16 см

По условию, площадь треугольника ТВО равна 12 квадратным сантиметрам:

S_TVO = 12 см²

Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника, основанную на его полупериметре (s) и радиусе вписанной окружности (r):

S_TVO = s_TVO * r

где s_TVO - полупериметр треугольника ТВО.

Полупериметр треугольника ТВО можно вычислить как:

s_TVO = (a/2 + b/2 + TV + VO) / 2

Так как TV и VO - это радиусы вписанной окружности, мы видим, что они равны радиусу этой окружности. Таким образом, TV = VO = r.

Теперь мы можем записать уравнение для площади треугольника ТВО:

12 см² = (a/2 + b/2 + r + r) / 2 * r

Упростим это уравнение:

12 см² = (a/2 + b/2 + 2r) / 2 * r

Теперь мы знаем, что a + b = 16 см (из периметра треугольника ABC), поэтому a/2 + b/2 = 8 см.

Подставив это значение в уравнение, получим:

12 см² = (8 см + 2r) / 2 * r

Умножим обе стороны на 2 * r:

24 см² * r = 8 см + 2r

Теперь выразим r:

24 см² * r - 2r = 8 см

(24 см² - 2) * r = 8 см

r = 8 см / (24 см² - 2)

r = 8 см / (576 см² - 2)

r = 8 см / 574 см²

r ≈ 0.013986 см

Таким образом, длина радиуса вписанной окружности равна приближенно 0.013986 см.