Question

Из вершины A треугольника ABC проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов, пересекающие прямую BC в точках D и E соответственно. Определить отношение AB / AC , если BD / DE =3 / 5.

Answer 1

СОГЛАСНО ТЕОРЕМЕ О БИССЕКТРИСЕ ВНУТРЕННЕГО УГЛА, получаем отношение АВ/АС=ВД/ДС
согласно теореме о биссектрисе внешнего угла получаем отношение АВ/АС=ВЕ/СЕ
пусть ВД=3х, ДЕ=5х, ВЕ=8х, ДС=кх, СЕ=5х-кх тогда учитывая оба равенства и подстановку имеем
3х/кх=8х/5х-кх
3/к=8/5-к
15-3к=8к
к=15/11
АВ/АС=3/(15/11)=11/5

Answer 2

Давайте обозначим угол BAC как α. Тогда, так как BD / DE = 3 / 5, мы можем сказать, что угол BDA / угол DEA = 3 / 5.

Теперь давайте рассмотрим биссектрису угла BAC. Она делит угол BAC пополам, поэтому угол BAD = угол CAD = α / 2.

Также, учитывая, что угол BDA и угол DEA образуют пару вертикальных углов с углом BAD и углом CAD соответственно, мы можем сказать, что угол BDA = α / 2 и угол DEA = α / 2.

Теперь у нас есть угол BDA и угол DEA, и мы знаем, что их отношение равно 3 / 5. Мы также знаем, что угол BAD = угол CAD = α / 2.

Используя закон синусов в треугольнике ABD и треугольнике ADE, мы можем записать следующие соотношения:

1. (AB / BD) = sin(α / 2) / sin(BDA).
2. (AE / DE) = sin(α / 2) / sin(DEA).

Так как sin(BDA) = sin(DEA) (по условию задачи), мы можем сократить эти два уравнения:

AB / BD = AE / DE.

Теперь мы знаем, что AB / BD = AE / DE, и мы также знаем, что BD / DE = 3 / 5. Мы можем объединить эти два уравнения:

AB / (3/5) = AE / 1.

Теперь у нас есть отношение AB к AE:

AB / AE = 3 / 1 = 3.

Таким образом, отношение AB к AC равно 3 / 4.