Question

Докажите, что параллелограмм является ромбом, если а) у него диагонали взаимно перпендикулярны б) диагональ является биссектрисой его угла. ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!

Answer 1

В параллелограмме противоположные углы равны, противоположные стороны равны и параллельны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

а)

В параллелограмме АВСD диагонали взаимно перпендикулярны. Следовательно, катеты четырех прямоугольных треугольников, образованных диагоналями и сторонами ромба, равны. =>

Эти четыре треугольника равны, значит, их гипотенузы ( стороны параллелограмма) - равны. АВСD- ромб.

б)

Если диагональ параллелограмма - биссектриса его угла, то по свойству равенства накрестлежащих углов при параллельных прямых и секущей она она делит и противоположный угол пополам и является основанием треугольника с равными углами. Равенство углов при основании - признак равнобедренного треугольника.

Поэтому АВ =ВС, ВС =СD, АD =АВ.

Параллелограмм АВСD - ромб.

Answer 2

Давайте рассмотрим оба случая:

а) У параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны.

Чтобы доказать, что параллелограмм является ромбом, нам нужно показать, что все его углы равны и все его стороны равны. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, это означает, что у параллелограмма есть прямые углы. Мы также знаем, что в параллелограмме противоположные стороны равны. Таким образом, каждый угол параллелограмма равен 90 градусов, и у него есть четыре прямых угла.

Теперь мы должны показать, что все стороны параллелограмма равны. Рассмотрим два треугольника, образованных одной из его диагоналей. Поскольку диагонали взаимно перпендикулярны, каждый из этих треугольников является прямоугольным. Мы также знаем, что обе диагонали равны, потому что они являются диагоналями параллелограмма. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и по одному катету. Это означает, что противоположные стороны параллелограмма равны, что делает его ромбом.

б) Диагональ является биссектрисой угла параллелограмма.

Если диагональ параллелограмма является биссектрисой угла, то она делит угол на два равных угла. Давайте рассмотрим один из таких углов. Пусть угол параллелограмма разделен диагональю на два равных угла.

Теперь рассмотрим два треугольника, образованных этой диагональю. Оба они имеют общий угол, который разделен диагональю пополам, и две равные стороны (параллельные стороны параллелограмма). Таким образом, эти два треугольника равны по стороне-угол-стороне (СУС). Поэтому противоположные углы параллелограмма также равны. Это делает параллелограмм ромбом.

Таким образом, в обоих случаях (а и б) мы пришли к выводу, что параллелограмм является ромбом.