Question

В окружности проведены диаметр и параллельные хорды. Докажите что параллельные хорды равны

Answer 1

Вроде на рисунке понятно.

Answer 2

Для доказательства того, что параллельные хорды окружности равны, мы можем использовать следующее рассуждение.

Предположим, у нас есть окружность с центром O и диаметром AB. Давайте обозначим середину диаметра AB как точку M. Таким образом, AM = MB, и точка M является центром окружности.

Теперь предположим, что у нас есть две параллельные хорды окружности, одна из которых CD, а другая EF. Мы хотим доказать, что CD = EF.

Рассмотрим треугольники CME и FME. Они имеют общую сторону ME, так как точка M является серединой диаметра. Также известно, что CD || EF (по условию). Поэтому угол CME и угол FME будут соответственно вертикальными углами, а значит, они равны между собой.

Теперь рассмотрим треугольники CMO и FMO. Они имеют общую сторону MO, а также равные углы при вершине M (так как угол CME = угол FME). Поэтому эти треугольники подобны по углам (по углу-углу).

Так как треугольники CMO и FMO подобны, отношение длин сторон CO и FO должно быть равно отношению длин сторон CM и FM:

CO / FO = CM / FM

Но так как AM = MB и M - это середина диаметра, то CM = FM. Значит,

CO / FO = 1

Из этого следует, что CO = FO. Но CO и FO - это половины соответственно хорд CD и EF.

Таким образом, CD = 2 * CO = 2 * FO = EF.

Итак, параллельные хорды CD и EF окружности равны между собой.