Question

сумма двух противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равна 15 см, а площадь данного четырехугольника - 45см². найдите радиус окружности

Answer 1

Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны. Значит его полупериметр равен 15 см.

Площадь такого четырехугольника: S=p⋅r, где r - радиус вписанной окружности, p=(a+b+c+d)/2 - полупериметр.

Тогда 45 = 15*r  =>  r = 3см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 3 см.

Answer 2

Давайте обозначим вершины четырёхугольника как A, B, C и D, а радиус окружности как R.

Так как четырёхугольник описан около окружности, то диагонали этого четырёхугольника являются диаметрами окружности. Поскольку сумма двух противоположных сторон четырёхугольника равна 15 см, диагонали AC и BD равны 15 см.

Теперь давайте разделим четырёхугольник на два треугольника: ABC и ADC. Сумма площадей этих двух треугольников равна площади всего четырёхугольника.

Площадь треугольника ABC можно выразить через его полупериметр (s) и радиус окружности (R) с помощью формулы Герона:

S_ABC = √[s(s - AB)(s - BC)(s - AC)]

Аналогично, площадь треугольника ADC:

S_ADC = √[s(s - AD)(s - CD)(s - AC)]

Где s = (AB + BC + CA) / 2.

Известно, что S_ABC + S_ADC = 45 см². Подставим выражения для S_ABC и S_ADC:

√[s(s - AB)(s - BC)(s - AC)] + √[s(s - AD)(s - CD)(s - AC)] = 45

Так как AB = CD (по определению описанного четырёхугольника), у нас есть:

√[s(s - AB)(s - BC)(s - AC)] + √[s(s - AD)(s - AB)(s - AC)] = 45

Теперь мы можем подставить s = (AB + BC + CA) / 2 и AB + CD = 15:

√[((AB + BC + CA) / 2) * (((AB + BC + CA) / 2) - AB) * (((AB + BC + CA) / 2) - BC) * (((AB + BC + CA) / 2) - AC)] + √[((AB + BC + CA) / 2) * (((AB + BC + CA) / 2) - AD) * (((AB + BC + CA) / 2) - AB) * (((AB + BC + CA) / 2) - AC)] = 45

Теперь мы знаем, что AB + BC + CA = 15, так как это равно полупериметру четырёхугольника.

Мы можем решить это уравнение численно, используя методы численной оптимизации, чтобы найти значение радиуса R, удовлетворяющее условиям задачи.