Question

Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точки пересечения окружностей проведены прямые, которые пересекаются в точке С и пересекают окружности в точках М, К, Р и Е. Докажите, что треугольники СКР и СМЕ подобны. Найдите СК и СР, если МЕ = 9 см, КР = 6 см, СМ = 12 см, СЕ = 15 см.

Answer 1

По теореме: Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой секущей на ее внешнюю часть. (как следствие теоремы о касательной и секущей из одной точки).  

Для меньшей окружности 

СА•СК=СВ•СР, откуда

СА:СВ=СК:СР

Для большей окружности 

СЕ•СВ=СМ•СА, откуда 

СМ:СЕ=СА:СВ. ⇒

СК:СР=СМ:СЕ ⇒СК:СМ=СР:СЕ

Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны. 

Из подобия ∆ СКР и Δ СМЕ следует отношение 

СК:СМ=РК:ЕМ

СК:12=6:9⇒ СК=8 см. 

и 

СР:СЕ=КР:МЕ 

⇒ СР=10 см

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников СКР и СМЕ, нужно показать, что у них соответствующие углы равны, и отношения длин сторон соответствующих углов равны.

1. Докажем равенство углов. Обозначим угол СКР за α и угол СМЕ за β.

Так как С, К, М и Р лежат на одной прямой, угол СКР равен сумме углов СКМ и МКР: α = угол СКМ + угол МКР.

Аналогично, так как С, М, Е и Р лежат на одной прямой, угол СМЕ равен сумме углов СМР и РМЕ: β = угол СМР + угол РМЕ.

Так как окружности пересекаются в точках А и В, угол СМР равен углу КМЕ (уголы, опирающиеся на хорды АВ и КМ, равны): угол СМР = угол КМЕ.

Также, угол МКР равен углу МЕК (уголы, опирающиеся на хорды АВ и МЕ, равны): угол МКР = угол МЕК.

Следовательно, α = угол СКМ + угол МКР = угол СКМ + угол МЕК.

Теперь рассмотрим треугольник СМЕ. В нем угол СМЕ равен углу СМК + углу КМЕ: β = угол СМК + угол КМЕ.

Мы заметили, что угол КМЕ равен углу МКР (они опираются на одну и ту же хорду АВ): угол КМЕ = угол МКР.

Также, угол СМК равен углу СМР (они опираются на одну и ту же хорду АВ): угол СМК = угол СМР.

Поэтому, β = угол СМК + угол КМЕ = угол СМР + угол МКР = α.

Мы доказали, что углы α и β равны, значит, треугольники СКР и СМЕ имеют соответствующие равные углы.

2. Докажем равенство отношений длин сторон соответствующих углов.

Мы знаем, что МЕ = 9 см, КР = 6 см, СМ = 12 см и СЕ = 15 см.

Соотношение сторон для угла α: СК/СМ = КР/МЕ.

Подставим значения: СК/12 = 6/9.

Решим уравнение: СК = 12 * (6/9) = 8 см.

Соотношение сторон для угла β: СМ/СЕ = МЕ/КР.

Подставим значения: 12/15 = 9/6.

Решим уравнение: СМ = 12 * (9/6) = 18 см.

Таким образом, СК = 8 см и СМ = 18 см.

Мы доказали, что у треугольников СКР и СМЕ соответствующие углы равны, а соотношения сторон соответствующих углов тоже равны. Поэтому треугольники СКР и СМЕ подобны.