Question

куб вписан в правильную четырехугольную пирамиду так, что четыре его вершины находятся на боковых ребрах пирамиды, а четыре другие вершины - на её основании. длина стороны основания пирамиды равна 2, высота пирамиды - 4. найдите площадь S поверхности куба. в ответ запишите значение выражения 3S.

Answer 1

Надо найти высоту вписанного куба h
сечение пирамиды горизонтальной плоскостью, параллельной основанию на высоте h от основания будет иметь сторону
a(h) = 2 - 2*h/4 = 2 - h/2
Это уравнение можно вывести из граничных условий 
a(0) = 2
a(4) = 0
сторона квадрата в этом сечении должна быть равна высоте
h = a(h)
h = 2 - h/2
3/2*h = 2
h = 4/3
Площадь куба с такой стороной
S = 6*h² = 6*(4/3)² = 6*16/9 = 32/3

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим пирамиду и вписанный в неё куб:

1. Основание пирамиды - правильный четырехугольник со стороной длиной 2.
2. Высота пирамиды - 4.

Теперь найдем диагональ основания пирамиды. Поскольку это правильный четырехугольник, у него равные стороны и диагонали. Рассмотрим один из треугольников, образованных диагональю и двумя сторонами основания. Это прямоугольный треугольник, где один катет равен стороне основания (2), а гипотенуза равна диагонали. По теореме Пифагора:

диагональ^2 = сторона^2 + сторона^2

диагональ^2 = 2^2 + 2^2

диагональ^2 = 4 + 4

диагональ^2 = 8

диагональ = √8 = 2√2

Так как куб вписан в пирамиду так, что его вершины лежат на боковых ребрах пирамиды, то высота куба равна высоте пирамиды, т.е., высота куба = 4.

Площадь поверхности куба (S) можно вычислить по формуле: S = 6 * сторона^2.

S = 6 * 2^2 = 6 * 4 = 24.

Теперь найдем значение выражения 3S:

3S = 3 * 24 = 72.

Таким образом, 3S = 72.