Question

Дано точки P (3; 8; 1) і Q (2; 9; 1). У площині xy знайдіть координати точки R коли відомо що трикутник PQR-правильний.

Answer 1

Даны точки P (3; 8; 1) и Q (2; 9; 1).

Как видим, сторона PQ имеет разность координат -1 и 1, а длина √2.
Угол к оси Ох составляет 135°.
От середины E её до точки R проходит высота треугольника, которая равна √2*cos 30° = √2*(√3/2) = √6/2.
По оси Oz координаты точек равны 1.
Получаем вертикальный треугольник с катетом 1 и гипотенузой √6/2.
Проекция ER на плоскость хОу равна √((√6/2)² - 1²) = √((6/4) - 1) = √(2/4) = √2/2.
Направление ЕR перпендикулярно PQ и равно 45° к оси Ох.
Координаты точки Е равны (2,5; 8,5; 1)
Поэтому координаты точки R сдвигаются на половину единицы по осям Ох и Оу от точки Е и равны (2; 8; 0).

Answer 2

Для того щоб знайти координати точки R, коли трикутник PQR є правильним, нам потрібно знайти середину відрізка PQ та потім знайти точку R, яка лежить на прямій, що проходить через середину відрізка PQ та перпендикулярна до PQ.

1. Знайдемо середину відрізка PQ: Середина відрізка між двома точками (x₁, y₁, z₁) і (x₂, y₂, z₂) знаходиться як середнє арифметичне координат кожної з них: x = (x₁ + x₂) / 2 y = (y₁ + y₂) / 2 z = (z₁ + z₂) / 2

Для точок P (3, 8, 1) і Q (2, 9, 1): x = (3 + 2) / 2 = 2.5 y = (8 + 9) / 2 = 8.5 z = (1 + 1) / 2 = 1

Таким чином, середина відрізка PQ є точка M (2.5, 8.5, 1).

2. Знайдемо вектор PQ: Вектор PQ можна знайти, віднявши координати точки P від координат точки Q: PQ = (xq - xp, yq - yp, zq - zp) PQ = (2 - 3, 9 - 8, 1 - 1) PQ = (-1, 1, 0)

3. Знайдемо координати точки R: Оскільки трикутник PQR є правильним, то вектор RQ повинен бути повернутий на 60 градусів від вектора PQ. Щоб знайти координати точки R, можна скористатися формулою для повороту точки навколо початку координат за годинниковою стрілкою на 60 градусів:

x_r = x_q * cos(θ) - y_q * sin(θ) y_r = x_q * sin(θ) + y_q * cos(θ) z_r = z_q

де θ = 60 градусів.

Таким чином, знаходимо:

x_r = 2 * cos(60°) - 9 * sin(60°) ≈ 1 - 7.794 ≈ -6.794 y_r = 2 * sin(60°) + 9 * cos(60°) ≈ 1.732 + 4.5 ≈ 6.232 z_r = 1

Таким чином, координати точки R приблизно дорівнюють (-6.794, 6.232, 1).