Question

Докажите что четырёхугольник АBCD с вершинами в точках А(3;-1), В(2;3), С(-2;2), D(-1;-2) -прямоугольник

Answer 1

Решение в приложении

Answer 2

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нам нужно проверить два условия:

1. Докажем, что все стороны параллельны попарно (AB || CD и AD || BC).
2. Докажем, что углы между этими сторонами равны 90 градусам.

Давайте начнем:

1. Проверка параллельности сторон: Используем формулу для определения уравнения прямой через две точки: Для стороны AB: уравнение прямой AB: y = mx + b, где m - угловой коэффициент и b - свободный член. m(AB) = (3 - (-1)) / (2 - 3) = 4 / (-1) = -4 b(AB) = -1 - (-4) * 3 = -1 + 12 = 11 Уравнение прямой AB: y = -4x + 11

Для стороны CD: уравнение прямой CD: y = mx + b m(CD) = (2 - (-2)) / (3 - (-1)) = 4 / 4 = 1 b(CD) = 2 - 1 * (-2) = 2 + 2 = 4 Уравнение прямой CD: y = x + 4

Так как угловые коэффициенты у прямых AB и CD равны -4 и 1 соответственно (они не равны), то стороны AB и CD не параллельны.

Для стороны AD: уравнение прямой AD: y = mx + b m(AD) = (-1 - (-2)) / (3 - (-1)) = 1 / 4 = 0.25 b(AD) = -2 - 0.25 * (-1) = -2 + 0.25 = -1.75 Уравнение прямой AD: y = 0.25x - 1.75

Для стороны BC: уравнение прямой BC: y = mx + b m(BC) = (3 - 2) / (2 - (-2)) = 1 / 4 = 0.25 b(BC) = 3 - 0.25 * 2 = 3 - 0.5 = 2.5 Уравнение прямой BC: y = 0.25x + 2.5

Так как угловые коэффициенты у прямых AD и BC равны 0.25, то стороны AD и BC параллельны.

2. Проверка перпендикулярности сторон: Для этого проверим, что произведение угловых коэффициентов всех сторон равно -1: m(AB) * m(CD) = -4 * 1 = -4 m(AD) * m(BC) = 0.25 * 0.25 = 0.0625

Так как произведение угловых коэффициентов сторон AB и CD равно -4, а произведение угловых коэффициентов сторон AD и BC не равно -1, углы между сторонами не равны 90 градусам.

Таким образом, четырехугольник ABCD с вершинами в точках А(3;-1), В(2;3), С(-2;2), D(-1;-2) не является прямоугольником.