Question

З точки А до кола проведено дві дотичні , кут між якими 90° . Доведіть, що відстань від точки А до точки дотику дорівнюють радіусу кола

Answer 1

Дотичні рівні за властивостями дотичних проведених з однієї точки.
Кут між ними ділиться навпіл = 45° , отже трикутники рівнобедренні, де сторони-дотична і радіус- рівні

Answer 2

Для доведення цієї твердження, давайте позначимо наші величини і застосуємо відповідні геометричні властивості.

Позначення:

• A: Точка А поза колом
• C: Центр кола
• B1: Перший дотик точки А з колом (перше перетинання)
• B2: Другий дотик точки А з колом (друге перетинання)
• R: Радіус кола

Твердження: Відстань від точки А до точки B1 і відстань від точки А до точки B2 дорівнюють радіусу кола (тобто AB1 = AB2 = R).

Доведення:

1. Припустимо, що BC - радіус кола. Тоді за властивістю кута, кут ABC = 90°.
2. Також, оскільки B1 і B2 - дотичні, то за властивістю дотичної до кола, BC перпендикулярне до B1A і B2A.
3. Розглянемо трикутники ABC, AB1C і AB2C:

• У трикутнику ABC: AB = AC, оскільки точка A поза колом, і вони обидва рівні радіусу кола (AB = AC = R).
• У трикутнику AB1C: AB1 = AC, оскільки вони обидва рівні радіусу кола (AB1 = R).
• У трикутнику AB2C: AB2 = AC, оскільки вони обидва рівні радіусу кола (AB2 = R).

4. Ми вже знаємо, що кут ABC = 90°, тому він є прямим кутом. Оскільки AB = AC = R, то трикутник ABC - рівнобедрений прямокутний трикутник, а отже, катети трикутника ABC рівні. З цього випливає, що AB1 = AB2 = R.

Таким чином, ми довели, що відстань від точки А до точки дотику B1 і B2 дорівнюють радіусу кола (AB1 = AB2 = R), що і було потрібно довести.