Question

Геометрия 7 класс! В треугольнике АBC проведена биссектриса BD. Докажите, что если BC>AB, то угол BDC - тупой

Answer 1

Если BC=AB, то треугольник ABC равнобедренный и биссектриса является одновременно высотой, значит угол BDC=BDA=90°.Эти смежные углы в сумме составляют 180°,поэтому если BC>AB, то угол BDC>90°,т.е. угол тупой

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение.

Предположим, что в треугольнике ABC проведена биссектриса BD, и BC больше AB. Тогда у нас есть следующая ситуация:

mathematicaCopy code
  C
 / \
/   \

/
/
A---------B D

1. Так как BD - биссектриса угла ABC, она делит угол ABC на два равных угла: угол ABD и угол CBD.

2. Также известно, что в треугольнике ABC сторона BC (против угла ABC) больше стороны AB (против угла BAC).

3. Теперь рассмотрим треугольник BDC. Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух сторон всегда больше третьей стороны. В данном случае, это условие выполнено для треугольника BDC:

   BD + CD > BC

   Поскольку BD - это отрезок биссектрисы, то BD делит сторону AC на две равные части:

   AC = AD + CD

   Теперь можно переписать неравенство:

   AD + CD + CD > BC

   AD + 2CD > BC

4. Поскольку угол ABD и угол CBD равны (по свойству биссектрисы), то отрезки AD и CD также равны, следовательно:

   2CD > BC

   CD > BC / 2

5. Мы знаем, что BC больше AB, поэтому BC/2 также больше AB:

   BC / 2 > AB

6. Таким образом, мы получаем неравенство:

   CD > AB

7. Если CD больше AB, то угол BDC (против угла CBD) будет тупым углом, потому что сторона CD (против угла BDC) будет длиннее стороны AB (против угла BAC) и будет образовывать тупой угол с этой стороной.

Таким образом, мы доказали, что если BC больше AB, то угол BDC будет тупым углом.