Question

Докажите признак параллельности прямых (Если сумма внутренних односторонних углов равна 180, то то прямые параллельны.)

Answer 1

На рисунке 206 прямая с является секущей прямых а и b угол 1 +угол 2 =180°
Докажем что а || b
углы 1 и 3 смежные следовательно угол 1 + угол 3=180° Поскольку угол 1 + угол 2 =180° то угол 2 =углу 3 (угол 2 и 3 накрест лежащие)
поэтому a||b

Answer 2

Для доказательства признака параллельности прямых, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, нам понадобится использовать аксиомы евклидовой геометрии. Предположим, у нас есть две прямые, которые пересекаются третьей прямой. Давайте обозначим эти прямые как l и m, и третью прямую как t. Причем, прямые l и m пересекаются на точке A, и t пересекает l и m в точках B и C соответственно.

Теперь рассмотрим две треугольника: треугольник ABC и треугольник ACD.

1. Треугольник ABC: Угол A образован пересечением прямых l и t. Угол B образован пересечением прямых l и m. Угол C образован пересечением прямых m и t.

2. Треугольник ACD: Угол A образован пересечением прямых l и t (так же, как в треугольнике ABC). Угол C образован пересечением прямых m и t (так же, как в треугольнике ABC). Угол D образован пересечением прямых l и m (дополнительный угол).

Зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, мы можем записать уравнения для каждого треугольника:

В треугольнике ABC: Угол A + Угол B + Угол C = 180 градусов.

В треугольнике ACD: Угол A + Угол C + Угол D = 180 градусов.

Теперь мы знаем, что угол A и угол C в обоих треугольниках одинаковы, так как это углы между одной и той же парой прямых, и угол D равен углу B в треугольнике ABC, так как это дополнительные углы.

Таким образом, уравнения для обоих треугольников становятся:

Угол A + Угол B + Угол C = 180 градусов.

Угол A + Угол C + Угол B = 180 градусов.

Сокращая уравнения, получим:

Угол A + Угол B + Угол C = Угол A + Угол C + Угол B.

Теперь, вычитая угол A и угол C с обеих сторон уравнения, получим:

Угол B = Угол B.

Это означает, что угол B равен самому себе. И так как угол B образован пересечением прямых l и m, то он является внутренним углом наших параллельных прямых.

Итак, у нас получилось, что угол B в обоих треугольниках ABC и ACD равен самому себе. Это возможно только если угол B равен 180 градусов. Если угол B равен 180 градусов, то это означает, что прямые l и m никогда не пересекаются и, следовательно, параллельны.

Таким образом, доказано, что если сумма внутренних односторонних углов между двумя прямыми равна 180 градусов, то прямые параллельны.