Question

в равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВД, докажите, что прямая ВД касается окружности с центром С и радиусом, равным АД

Answer 1

BD - медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основания, значит и высотаR = AD = CDЗначит, CD⊥BD. CD - расстояние от центра окружности до прямой BD.И CD - радиус окружностиЕсли расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая является касательной.Значит BD - касательная к окружности с центром С и радиусом CD

Answer 2

Для доказательства этого утверждения в равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВД, докажем, что прямая ВД касается окружности с центром С и радиусом, равным АД.

Для начала, предположим, что треугольник АВС действительно равнобедренный с медианой ВД. Так как треугольник равнобедренный, это означает, что длины отрезков АВ и АС равны:

|АВ| = |АС|.

Далее, рассмотрим точку D, которая является серединой основания АС. Поскольку ВД - медиана треугольника, она делит сторону АС пополам:

|ВД| = |ДС|.

Также, по определению медианы, отрезок ВД делит сторону АВ пополам:

|ВД| = |ДВ|.

Теперь сравним длины отрезков ДВ и ДС. Мы знаем, что:

|ВД| = |ДС| и |ВД| = |ДВ|.

Таким образом, из равенства этих отрезков:

|ДВ| = |ДС|.

Теперь рассмотрим круг с центром в точке С и радиусом |АД|. Так как D - середина стороны АС, а С - её вершина, то отрезок АД - это радиус круга с центром в С. Таким образом, точка D лежит на данной окружности.

Доказано, что отрезок ВД равен радиусу окружности с центром С и радиусом |АД|, а также точка D лежит на этой окружности.

Следовательно, прямая ВД касается окружности с центром С и радиусом, равным |АД|.