Question

Точка a1 (8;y) является образом точки a (x;-3) при гомотетии с центром O (2;1) и коэффициентом k= -4. Найдите x и y.

Answer 1

   Чтобы объяснить это задание-предлагаю рассмотреть пример его на известной точке и сделать выводы, которые потом применить к предложенному заданию
   Пусть дана точка С (4;2) и применю к ней описанную гомотетию
Для этого я С соединяю с О и в продолжении этой прямой отложу отрезок, равный по длине 4 длинам СО( так как коэффициент с минусом, то расстояние четырехкратное откладывается в противоположном направлении от О, если бы к был положительный-то в том же направлении что и С от О...)
С(4;2) перешла в C1(-6;-3)
    Рассмотрев данный пример я прихожу к выводу
-если центр гомотетиии задан точкой О(2;1) , то указанное перемещение точки А (x;y) переместит ее в  точку А1(x1; y1), которые вычисляются по   формулам
x1=2-4(x-2)=2-4x+8=10-4x
y1=1-4(y-1)=1-4y+4=5-4y
На примере это все подтверждается
     Теперь применю данные формулы к условию задачи
x1=8-  найду х
8=10-4x;   4x=10-8=2;   x=1/2
y=-3-найду y1
y1=5-4*(-3)=5+12=17
Значит А(0.5;-3) перешла в A1(8;17)
Ответ x=0.5; y=17

Answer 2

Для нахождения x и y, мы можем использовать свойство гомотетии, которое гласит, что если точка A(x, y) является образом точки A1(x1, y1) при гомотетии с центром O и коэффициентом k, то:

(x, y) = O + k * (x1, y1)

Где O - это центр гомотетии (2, 1), k - коэффициент гомотетии (-4), и (x1, y1) - координаты точки a1.

Мы знаем, что a1 имеет координаты (8, y), и точка a имеет координаты (x, -3). Подставим значения в формулу:

(x, -3) = (2, 1) + (-4) * (8, y)

Теперь рассчитаем правую часть уравнения:

(-4) * (8, y) = (-4 * 8, -4 * y) = (-32, -4y)

Теперь подставим обратно в уравнение:

(x, -3) = (2, 1) + (-32, -4y)

Чтобы вычислить x и y, сложим соответствующие координаты:

x = 2 - 32 = -30 -3 = 1 - 4y

Теперь найдем y:

-4y = -3 - 1 -4y = -4 y = -4 / -4 y = 1

Таким образом, точка a имеет координаты (-30, 1).