Question

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K так,что KB=BC, а на продолжении стороны BC за точку B отмечена точка P так, что AB=BP.Докажите, что прямые AP и CK перпендикулярны.

Answer 1

КВ=ВС
АВ=РВ
Кут В спільний отже трикутники подібні, а отже КС паралельна АР за теоремою Фалеса
Отже КС не перпендикулярна АР

Answer 2

Для доказательства того, что прямые AP и CK перпендикулярны, мы воспользуемся свойствами подобных треугольников.

Обозначим углы треугольника ABC следующим образом: ∠CAB = α ∠ABC = β ∠BCA = γ

Из условия задачи, у нас имеются равенства сторон:

KB = BC => ∠KBC = γ (1) AB = BP => ∠BPA = β (2)

Также, у нас есть равенства отрезков:

KB = BC => ∠BKC = α (3) AB = BP => ∠BAP = γ (4)

Построим отрезок AC. Теперь рассмотрим треугольники ABP и KBC. Они не являются подобными, так как имеют равные углы при вершинах B и P, а также равные углы при вершинах B и K. Таким образом, треугольники ABP и KBC не подобны.

Однако мы можем заметить, что треугольники ABP и KBC являются равнобедренными.

В треугольнике ABP: AB = BP => ∠BAP = γ (4)

В треугольнике KBC: KB = BC => ∠KBC = γ (1)

Таким образом, у этих треугольников равны два угла, что означает равнобедренность.

Теперь мы можем заключить, что ∠AKB = ∠KBA = α, так как угол ∠KBC = γ и угол ∠BKC = α.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что ∠CAB = α, и также у нас есть ∠AKB = α.

Таким образом, треугольник ABC также является равнобедренным, и это означает, что AC = BC.

Теперь обратим внимание на треугольник CAP. Мы уже показали, что ∠BAP = γ и ∠PAC = α (из равнобедренности треугольника ABC). Теперь у нас есть равенство сторон:

AC = BC

Из равенства сторон и равенства углов можно заключить, что треугольники CAP и CBK подобны.

Теперь, когда у нас есть подобные треугольники, мы можем использовать свойство перпендикулярности сторон подобных треугольников. Это означает, что противоположные стороны будут перпендикулярны.

В данном случае, это стороны AP и CK:

AP ⊥ CK

Таким образом, мы доказали, что прямые AP и CK перпендикулярны.