Question

В равнобедр. треугольнике АВС градусная мера угла, лежащего против основания AC, равна 120° . Вычислить расстояние от вершины B до прямой , проходящей через вершину А и перпендикулярной прямой BC , если расстояние от вершины B да прямой АС рано 2 см.

Answer 1

Распишите подробнее для учителя, на фото все представлено.

Answer 2

Для решения задачи, обозначим следующие величины:

Пусть AB = BC = a (так как это равнобедренный треугольник). Пусть h_1 - расстояние от вершины B до прямой AC. Пусть h_2 - расстояние от вершины B до искомой прямой, перпендикулярной BC и проходящей через вершину А.

Так как угол А равен 120°, то угол С равен (180° - 120°)/2 = 30° (так как это равнобедренный треугольник).

Теперь построим высоты треугольника BAC и обозначим точки пересечения с соответствующими сторонами:

Метка точки пересечения высоты из вершины B с основанием AC: D. Метка точки пересечения высоты из вершины B с основанием BC: E.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника: BCD и BAE.

Для треугольника BCD: BC = a, CD = a/2 (так как угол С равен 30°, а это равнобедренный треугольник), BD = h_1 = 2 см (дано в условии).

Используем теорему Пифагора для треугольника BCD:

BD^2 + CD^2 = BC^2, 2^2 + (a/2)^2 = a^2, 4 + a^2/4 = a^2.

Решим уравнение:

a^2 - a^2/4 = 4, 3a^2/4 = 4, a^2 = (4 * 4) / 3, a^2 = 16 / 3, a = √(16 / 3) = √(16) / √(3) = 4 / √(3) = (4√3) / 3.

Теперь для треугольника BAE: BA = a = (4√3) / 3, AE = a/2 = ((4√3) / 3) / 2 = (2√3) / 3.

Мы ищем расстояние h_2, которое является высотой треугольника BAE из вершины B на прямую, перпендикулярную BC и проходящую через вершину А.

Для нахождения h_2, рассмотрим прямоугольный треугольник BAF, где F - точка пересечения прямой AE с прямой BC.

Заметим, что треугольник BAF и треугольник BAE подобны, так как угол B равен в обоих треугольниках. Поэтому:

AF / AE = AB / BA, AF / ((2√3) / 3) = (4√3) / 3 / ((4√3) / 3), AF / ((2√3) / 3) = 1, AF = (2√3) / 3.

Теперь у нас есть длина отрезка AF, и мы знаем, что угол BAF прямой. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника BAF:

BF^2 + AF^2 = BA^2, BF^2 + ((2√3) / 3)^2 = ((4√3) / 3)^2, BF^2 + (4 / 3)^2 = (4 / √3)^2, BF^2 + 16 / 9 = 16 / 3, BF^2 = 16 / 3 - 16 / 9, BF^2 = (48 - 16) / 9, BF^2 = 32 / 9, BF = √(32) / √(9) = √(32) / 3 ≈ 3.079 cm.

Таким образом, расстояние h_2 от вершины B до прямой, проходящей через вершину А и перпендикулярной прямой BC, составляет приблизительно 3.079 см.