Question

Отрезки AB и CD - диаметры окружности . Докажите, что хорды AC и BД равны

Answer 1

Доказательство на фотографии.

Answer 2

Для доказательства того, что хорды AC и BD равны, можно воспользоваться свойством перпендикулярности диаметра окружности к хорде, а также равенством двух дуг, образованных пересекающимися хордами на окружности.

Пусть у нас есть окружность с центром O и диаметром AB, а также хорды AC и BD, которые пересекаются в точке M, как показано на рисунке ниже:

yamlCopy code
          C
         /|
        / |
       /  | 
      /   | 
     /    | 
  A /_ _ _|B
    \    |
     \   |
      \  |
       \ |
        \|
         D

Шаги доказательства:

Шаг 1: Докажем, что OM является перпендикуляром к хорде AC.

Для этого воспользуемся свойством: перпендикуляр из центра окружности к хорде проходит через середину хорды.

Так как AB является диаметром, то OM будет перпендикуляром к хорде AC и проходить через середину AC.

Шаг 2: Докажем, что OM является перпендикуляром к хорде BD.

Аналогично, так как AB является диаметром, то OM будет перпендикуляром к хорде BD и проходить через середину BD.

Теперь у нас есть два перпендикуляра (OM) к двум пересекающимся хордам (AC и BD) в их серединах.

Шаг 3: Докажем, что точки A, C, B и D лежат на одной окружности.

Это следует из того, что у нас есть два перпендикуляра из центра окружности O к хордам AC и BD, проходящих через их середины. Таким образом, хорды AC и BD делят окружность на две равные дуги.

Шаг 4: Докажем, что дуги, образованные хордами AC и BD, равны.

Так как хорды AC и BD делят окружность на две равные дуги, и каждая из них соответствует определенному углу в окружности, а углы на одной и той же дуге равны, то у нас есть два равных угла: угол AOC и угол BOD.

Шаг 5: Докажем, что треугольники AOC и BOD равны по двум сторонам и углу.

Так как диаметр AB является общей стороной для обоих треугольников, стороны AO и OB равны, а также сторона OC равна стороне OD, так как OM - это высота, проходящая через середины хорд AC и BD. Также угол AOC и угол BOD равны, так как оба они являются прямыми углами.

Поэтому по стороне-углу-стороне (СУС) треугольники AOC и BOD равны.

Шаг 6: Следует, что AC и BD равны, так как соответствующие стороны равных треугольников равны.

Таким образом, хорды AC и BD равны, что и требовалось доказать.