Question

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна b. Угол при основании равен α. Найти радиус вписанной в треугольник окружности. Указание: решить задачу можно, используя формулы для площади треугольника.

Answer 1

Основание треугольника с=2b*cos(a)
Площадь треугольника с*b*sin(a)/2
Площадь треугольника r*(2b+c)/2
                                         r=с*b*sin(a)/(2b+c)

r=(2b^2*sin(a)*cos(a))/(2b+2b*cos(a))

r=0,5*b*sin(2a)/(1+cos(a))

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для площади равнобедренного треугольника, а затем выразить радиус вписанной окружности через эту площадь и боковую сторону.

Пусть треугольник ABC - равнобедренный треугольник с боковой стороной b, основанием AB и углом при основании α. Пусть I - центр вписанной окружности, r - радиус этой окружности, а h - высота проведенная из вершины C на основание AB.

1. Площадь равнобедренного треугольника ABC: S = (1/2) * b * h, где h - высота треугольника.

2. Площадь равнобедренного треугольника ABC через радиус вписанной окружности: S = (1/2) * AB * r, где AB - основание треугольника, r - радиус вписанной окружности.

3. Высота h равнобедренного треугольника ABC: h = b * tan(α/2).

Теперь приравняем два значения площади:

(1/2) * b * h = (1/2) * AB * r.

Подставим выражение для высоты h:

(1/2) * b * (b * tan(α/2)) = (1/2) * AB * r.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = 2r, где 2r - длина основания.

Теперь уравнение примет вид:

(1/2) * b * (b * tan(α/2)) = (1/2) * 2r * r.

Упростим:

b * (b * tan(α/2)) = r^2.

Теперь найдем радиус вписанной окружности r:

r^2 = b^2 * tan(α/2).

И, наконец, радиус вписанной окружности:

r = √(b^2 * tan(α/2)).

Таким образом, мы получили выражение для радиуса вписанной окружности через боковую сторону и угол при основании равнобедренного треугольника.