Question

30 баллов !! Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC и CDA лежат на диагонали BD и делят ее на 3 равные части.

Answer 1

.......................

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим параллелограмм ABCD и точки пересечения медиан треугольников ABC и CDA. Пусть точки пересечения медиан треугольника ABC обозначим как M, а точки пересечения медиан треугольника CDA обозначим как N.

1. Докажем, что точки M и N лежат на диагонали BD: Для этого рассмотрим медиану треугольника ABC, проходящую через вершину B. Пусть это медиана, идущая из вершины B к середине стороны AC, обозначим её как ME.

Также рассмотрим медиану треугольника CDA, проходящую через вершину D. Пусть это медиана, идущая из вершины D к середине стороны AC, обозначим её как NF.

Так как медианы треугольников проходят через вершину и середину противоположной стороны, то ME и NF пересекаются в точке X, которая является серединой стороны AC.

Теперь рассмотрим треугольник BMX. В этом треугольнике две медианы — это BE и MX. Поскольку точка M является серединой стороны AC, то MX — это медиана, проходящая из вершины B к середине стороны AC, аналогично медиане ME.

Таким же образом, в треугольнике DNX две медианы — это DN и NX. Так как точка N является серединой стороны AC, то NX — это медиана, проходящая из вершины D к середине стороны AC, аналогично медиане NF.

Мы знаем, что медианы треугольников пересекаются в точке, делящей их в отношении 2:1 относительно вершины (отношение, в котором медиана делит сторону, прилегающую к вершине). Поскольку MX делит сторону AC в отношении 2:1, и точка X является серединой стороны AC, то MX и NX пересекаются в точке X, делящей их тоже в отношении 2:1 относительно вершины (то есть, делится в соотношении 1:2).

Таким образом, мы доказали, что точки M и N лежат на диагонали BD и делят её в отношении 1:2.

2. Докажем, что точки M и N делят диагональ BD на 3 равные части: Поскольку точки M и N лежат на диагонали BD и делят её в отношении 1:2, то достаточно показать, что длина отрезка BN равна двум длинам отрезка ND.

Поскольку точка M является точкой пересечения медиан треугольника ABC, то она делит медиану CM в отношении 2:1 (отношение, в котором медиана делит сторону, прилегающую к вершине). Таким образом, длина отрезка MC равна двум длинам отрезка MA.

Аналогично, так как точка N является точкой пересечения медиан треугольника CDA, то она делит медиану CN в отношении 2:1. Таким образом, длина отрезка NC равна двум длинам отрезка NA.

Теперь посмотрим на треугольник BNC. В этом треугольнике две медианы — это BN и NC. Мы только что показали, что длина отрезка BN равна двум длинам отрезка ND, а длина отрезка NC равна двум длинам отрезка NA.

Так как треугольник ABC — параллелограмм, то стороны BC и AD равны, и, следовательно, стороны CN и AN тоже равны. Таким образом, в треугольнике BNC две стороны равны (BN и NC), а медиана BN равна двум медианам ND и NA.

Поскольку медиана делит сторону в отношении 2:1, а сторона CN равна стороне NA, то отрезок BN делит сторону CD (это диагональ BD) в отношении 1:2.

Таким образом, мы доказали, что точки M и N делят диагональ BD на 3 равные части.

Таким образом, утверждение доказано. Точки пересечения медиан треугольников ABC и CDA действительно лежат на диагонали BD и делят её на 3 равные части.